轮胎上的几何—环面拓扑学

从直观上一眼就能看出，球面与环面有很大的差别，最明显的就是环面有一个空洞而球面没有。因此，如果不准撕坏、粘合，由一个球胎是不能变形成轮胎的，反过来，轮胎也不能变成球胎。这反映它们拓扑性质有本质的差别，曲面上的这个空洞数是曲面的最重要的拓扑不变量，称为亏格，用 g表示。球面的亏格为0，轮胎面的亏格为1，显然还可以造出g＝2，g＝3等封闭曲面，它们具有g个空洞，曲面的拓扑性质都与g有关。我们来看一下球面与环面的差别。在球面上画一个圆圈，你会发现，它可以在球面连续变形，最后缩成一点，这个性质称为单连通。但是在环面上，不是所有的圆圈都能这样连续的变形，例如，当这个圆是绕环面的圆时就不能缩为一点，因此，环面不是单连通的。同样，有2个、3 个乃至多个空洞的环面也不是单连通的。为了描述单连通性，庞加莱引进一个拓扑不变量——基本群，用π1表示。当π1＝0时，曲面就是单连通的，而π1≠0 则不是单连通，π1越复杂，表示它与单连通差距越大。
     另外一个拓扑性质是分割性。一个圆总可以把球面分成两块，它们互不连通，但都以这个圆为边界，但是，一个圆不一定能把环面分成两块，例如把自行车轮胎垂直剪断，它没有变成两段，还是一段，只不过变成一个弯管，两个圆有时也不行，但是，要是在环面上再剪一个圆圈，那么任意这样三个圆圈一定可以把环面分成两块（或两块以上），这个发现很有一般性，对于g个空洞的环面存在2g条闭曲线，不能把这个环面分成两块，但任意2g＋1条闭曲线，总可以把亏格为g的环面分成两块。因此我们把2g＋1称为曲面的连通度。这就是说，g越大，把它们剖分开越困难。同样，对于有g个空洞的环面来说，虽然我们在环面上能画2g条闭曲线，但最后环面还连成一片，但是2g条闭曲线必定是相交的，要想闭曲线互不相交，又能使划分结果连成一片，最多只有g条闭曲线，多了就一定相交，不信你试试看。