罗巴切夫斯基几何

现在公认非欧几何学的奠基人是高斯、罗巴切夫斯基和波耶，他们是彼此独立地得到所谓罗巴切夫斯基几何（克莱因称为双曲几何）的。高斯早在1792 年就开始深入研究这个问题，但他并没有公开发表过任何著作。1799年他声称他已掌握一种违背平行公理的新几何学。1813年他发展他的新几何学，他称之为反欧几何，后称星空几何及非欧几何。他在后来的书信中一再明确指出，平行公理不能由其他公理证明，而且认为这种新的几何确有实际应用。他曾实际测量三个山峰构成三角形的内角和是否 180°，由于实际误差没能得到确切结论。他认以到只有更大的三角形才会显示明显差别。
     罗巴切夫斯基1826年宣读非欧几何第一篇论文而且1837年用法文和1840年用德文发表在西欧的主要杂志上，但直到去世也没有得到理解和重视。波耶早在1823年就告诉他父亲法卡斯·波耶，说他已作出一个新的平行理论，并在他父亲的书《为好学青年写的数学原理》（共二卷，1832—1833）作为附录发表。他的绝对几何学同高斯及罗巴切夫斯基几何也是等价的。双曲几何在否定平行公设的假设前提下引进一些新内容：（1）平面上两条直线上存在三种关系，除了两条直线相交及平行之外（这时它们都不能有公垂线），还可能有第三种关系称为超平行，它们没有交点，但有唯一一条公垂线。（2）平行角π（a），设AB为一直线，C为直线外一点，C到AB的垂直距离为a，过C的直线可分为两类，一类与AB相交，一类不与AB相交，则不与AB相交的直线与CD成角度最小者定义为a的平行角，记作π（a）。罗巴切夫斯基和高斯独立得出 k称为空间带数。（3）三角公式，罗巴切夫斯基认识到，他的几何的三角公式就是球面三角公式中，边长及角度均用虚数即可得到。（4）面积公式，三角形 ABC的面积与π－（A＋B＋C）成正比，这个数值称为角亏。（5）从境界线（极限圆）的导入，罗巴切夫斯基在《平行线论》中导入境界线和境界球面的概念，境界线是平面上曲线，其所有弦的垂直等分线（称为轴）都互相平行。而境界球面是以境界线绕其中任意一轴所旋转出的球面。境界球面的几何学是欧氏几何学，从而可以看出欧氏几何学是罗氏几何学的极限情形。