唯我独尊—欧几里得几何

虽然自 19 世纪中期起，已经发生大大突破欧几里得几何学的框架的革命，但是，我们还不能说我们已经完全摆脱欧几里得几何学观念的束缚。因此，有必要检查一下欧几里得的观念，以及对它的批判产生的结果。（1）欧氏空间是现实的空间形式，几何学同物理学一样是以现实物理世界为对象的自然科学。时至今日，许多人把数学，特别是几何列入自然科学，其主要根据也在这里。其实，这种观点是极为错误的，问题在于①数学并不研究物理空间。
     实际上，空间的概念最早是开普勒在17世纪初引进数学之中的，用它代替主体，这在后来也是沿用为了区别开二维与三维的几何图形。数学实际上只是研究几何图形，虽然常常假定它是安装在一个大空间中，而这也只是在解析几何中取坐标的数目时才默认的，许多具体问题是与空间不相干的。②认为我们所在的现实空间是欧氏空间是大哲学家康德的观念，实际上康德硬性规定空间只此一种，因此几何自然也就只有欧氏几何了。③欧几里得几何学实际上是经验的概括，只是这个公理系统得不出来相互矛盾的结果。因此，这里有两种真理观：一种是欧氏几何的结论符合事实，而这只能说是欧氏几何可能是我们这个世界的模型，但它并不能排除在逻辑上不自相矛盾的几何学体系。而另一种可能性则是逻辑上不自相矛盾的体系。
     例如非欧几何学体系。因此在确定我们现实世界是什么样时，首先要解决两个问题：A、有多少种可能的几何学体系或者空间模型。B、哪一种符合现实。前一问题是数学问题，后一问题是实测问题，从而康德独断地认为欧几里得空间是没有任何根据的，而且从这时起，数学也不是自然科学的一个分支了。（2）欧几里得的一些具体做法也不断受到挑战，每一次斗争都导致数学的新发展。①平行公理的否定导致非欧几何的建立，打破欧氏几何的一统天下。②去除三维的限制，打破数学必须局限于“现实空间”。③欧几里得公理体系不完善，必须严密建立新公理学。④局限于整体大于部分的公理的突破，使得无穷数学得到发展。总之，近200年数学发展的历史正是欧几里得唯我独尊一统天下的逐步破灭过程。