曲线与方程—解析几何

虽然坐标观念很早就有，但有意识地把曲线与方程对应起来和用代数方法解几何问题则是解析几何学诞生以后的事。费尔马首先提出解析几何学的一般原理：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一条轨迹，其中一个未知量的端点就描绘出一条直线或曲线”，他接着说“直线是唯一的，而曲线则是无穷多，包括圆、抛物线、椭圆等等”。解析几何学的出现标志着方法上的重大进步，用以前的综合方法，每一个问题都要用特定的方法去求解。在许多情况下要求有高度的智慧和技巧。而解析几何学的方法，用统一的语言来表述对象，把几何问题化为同一种形式——可以处理的代数形式，这样可以通过标准化的代数程序使得几何问题顺利得到解决。这样为解几何问题提供了一种普遍的方法，而且是一种机械化的方法。
     这样一来，能解的问题大大增加。例如：（1）通过计算来解决各种作图问题。（2）求出具有某些性质的曲线（或曲面），特别是能够解决各种轨迹问题，而且通过曲线、曲面等几何对象的方程可以确认它到底可归入哪一类。（3）可以发现或证明新定理，这在笛卡儿时代已有所表现。近年来，我国著名数学家吴文俊教授已把这方法推向一个新的高度，并推广到极为广阔的领域。（4）反过来，通过代数和几何的语言互译，也有利于用几何方法解某些代数问题，如方程求根的问题。不仅如此，解析几何学使微积分大大简化，而且扩大了数学研究范围：如提出作图可能问题、曲线和曲面的分类问题、奇点问题等，大大推动代数的发展，并衍生出代数几何学及微分几何学这些直接后裔。