高次方程的根式解

伽罗华是数学史上的传奇人物，他是一位天才，20 岁就同人决斗而丧生。生前他用置换群理论证明一般五次及五次以上方程不能用根式解，但是这个天才的思想却长期得不到当时权威们的理解。一直到几十年后，才逐渐得到人们的认识，他的理论也逐渐发展成为抽象的群论，成为现代数学的基石之一，而且在物理、化学等领域有着重要的应用。代数方程是最古老的方程，有着重要的应用，古代就已知一次、二次代数方程的解法，16世纪也发现三次、四次代数方程的根，它们都可以表示为方程系数（通常为有理数）的加、减、乘、除以及开方来表示，这样表示的根称为方程的根式解。很自然，人们就寻求五次及五次以上的方程求根式解的算法。但是，经过300多年的努力，未获成功。这时就已经有人意识到，可能五次及五次以上方程不能根式解，但是这样一个大定理，需要严格的证明，这个证明最终被挪威年轻的数学家阿贝尔给出来。但是，这个结果是消极的，它只是说，不必再徒劳无功地去寻求五次及五次以上方程的用根式表根的一般公式了，但是没有给数学增加太多新内容。伽罗华的理论则不一样，它产生许多积极的成果，开辟了完全崭新的代数学领域。
     首先，伽罗华把每个有理系数代数方程同一个置换群连系在一起，这群称为该方程的伽罗华群，并且证明伽罗华理论基本定理，即有理系数代数方程可以根式解当且仅当该方程的伽罗华群是可解群。这样，他不仅证明一般五次及五次以上方程不能根式解，而且也指出不是所有的五次及五次以上方程都不能根式解，有的也可以根式解，而且给出这些方程可根式解的条件。为什么一般五次及五次以上代数方程不能根式解呢？这是因为一般五次方程的根的置换群是5元对称群，它共有120个元素，它包含一个5元交错群，它共有60个元素，这个群是单群不能再分解成简单的群了，因此不是可解群，所以一般五次方程不可根式解。但如果某个五次方程的置换群只是 5元对称群中一个小的子群，那它就是可解群，从而就可以根式解了。例如x⁵＋x－a＝0当a为2或6时可根式解，而a＝3，4，5，7，8，9，10，11时不可根式解。其次，伽罗华指出研究群及群的结构的重要性，这样开辟了现代抽象群论及抽象代数学的广阔天地。