处处没有切线的连续曲线

19世纪以前的数学，对于微积分的许多概念并没有严密的理解，许多重要的概念仍诉诸几何直观。函数的概念仍不能完全脱离曲线的直观，函数的求导和微分与曲线的切线看成是一回事，函数的连续性无非就是曲线的连续性，这样，对数学分析进一步发展无疑有很大的阻碍。柯西第一个为数学分析奠定严密的基础，他的功绩之一是为函数的连续性和可微性给出严密的定义，也就是建立在极限观念的基础上。不过在连续性与可微性的关系上，仍然没能摆脱以前的看法。当时普遍认为连续函数只要没有间断点，一定可导。著名的物理学家安培甚至多次给出证明，处处连续的函数一定处处可微。
     换言之，连续曲线一定处处有切线存在，而且这些错误的证明长期保留在教科书当中，直到19世纪末。最早认识连续性与可微性的区别的是哲学家波尔查诺，他在1834年首次给出一个连续函数，处处没有有限的导数。但是他举出的例子是没有解析表达式的曲线，这在当时也不为人接受，他的结果没有什么影响，其严格证明到1922年才发表。因此真正区别开连续性及可微性的主要数学家是黎曼和外尔斯特拉斯。黎曼早已认识到由函数的连续性不必然推出可微性，早在1854年就在他为取得讲师资格论文中定义了一个连续函数，在任意小区间内，都有无穷多点没有导数。1860年他引进一个连续且处处不可导的函数。长期以来认为没有什么问题。一直到100多年后，才发现在许多点处可导，因此真正处处不可导的连续函数首先是外尔斯特拉斯在1872年讲课中首先宣布的，此即 现许多新的例子。值得注意的是，著名波兰数学家巴拿赫证明在所有的处处连续函数当中，处处不可微的连续函数占有绝大多数，比较起来可微函数的比例小得可以忽略不计。