圆规直尺够用吗—几何作图

从古到今，作图都是数学的重要问题，无论中外，主要的作图工具是直尺和圆规。直尺的用处是，过任意两点可以作一条直线，而且可以使这条直线在两边无限延长。圆规的用处是，过任意一点，可以作一圆通过另一点。虽然在作图过程中也用其他工具和方法，但是在2500多年间几何学往往只限于讨论尺规作图。它们能做什么呢？它们的能力比初看起来要大得多，它能解决一系列难题，例如阿波隆尼斯问题，也就是作一个圆与已知三个圆相切。还有马尔法替问题，对已知三角形，求三个圆分别与三角形两边相切，而且它们彼此相切。这类问题对圆的大小及相对位置不加限制，讨论起来很复杂，完整的解答到19世纪才得出，它们是能用尺规作图的范例。但是，许多问题，即便只涉及直线及圆的作图，单用圆规直尺也不能解决，尺规的这种局限性给数学开辟一个新领域，也就是判定哪些问题可用尺规解，哪些不可解，还有求可解的条件。著名的不可解问题有几何三大问题以及作正多边形问题。
     高斯证明，绝大多数正n边形不能用尺规作图，能作的正n边形只有当n满足下列条件时才行：n=2λp1…pk其中λ≥0，p1，…pk 是不同的费尔马素数，现在已知的费尔马素数只有3、5、17、257和65537，可证正7边形，正9边形，正11边形等等不能用圆规、直尺作出。到19世纪，人们又考虑单用直尺及圆规的作图问题，结果令人惊异。一方面单用圆规可以解决一切可用尺规能作的图，当然这时作直线就变成找到直线上两点即可。另一方面，单用直尺也可以解决一切可用尺规能作的图，只不过这时需要给定一圆及其圆心，这时作圆只需作出圆心及圆上一点即可。由19世纪至今，几何学家也考虑其他的作图工具来解几何作图问题，其中特别值得一提的是用直角尺和圆规可解决单用直尺圆规不能解决的三等分任意角和倍立方体问题。