神坛加倍引出的问题—几何三大问题

在几何学历史上，最著名的问题是所谓希腊几何三大作图问题。现在看来，这三个问题的重要性并不那么大，但在2000多年的发展历程中，却给数学带来许多新发现，最古老的问题是倍立方体问题，即造一个立方体，使它的体积是已知立方体的一倍，这问题又称德利安问题，这源于德利安人为了摆脱瘟疫，遵照神谕必须把他们的守护神阿波罗的立方形神坛加大一倍，这个问题受到柏拉图的重视，许多人都提出自己的解法。另一个问题是三等分任意角，这个问题直到现在还得到许多业余爱好者的研究。第三个问题是化圆为方，也就是作一个圆，使它的面积等于给定的正方形的面积。一谈到几何三大问题，我们必须强调，解决这些问题允许用什么工具，因为通常讲几何三大作图问题时，往往加上只许用圆规直尺的限制条件。
     在这种情况下，这三大问题是不可能解决的，证明这点到19世纪才完成。但是，如果不限制作图工具，古希腊人就已经想出许多方法。为了解倍立方体问题，梅纳科莫斯在公元前350年发现了圆锥曲线，后来还有许多人用其他曲线如蔓叶线来解决，另外还有人用机械工具。同样解三等分任意角问题，也可以用高次曲线，特别是蚌线，后来还发现圆锥曲线也可以使用。希皮阿斯的割圆曲线和阿基米德的螺线甚至可以把角任意等分。同样，也有许多机械装置可以三等分任意角。这些当然还不能令人完全满意。也有人从另外角度来考虑这个问题，也就是求近似解。1525年大画家丢勒发明一种方法用圆规直尺近似地三等分任意角，误差不超过 1°。三大问题之中化圆为方的问题最有兴趣也最为困难。古希腊人也用割圆曲线和阿基米德螺线解决化圆为方问题，而近似解法无非是求π的问题，而最令人吃惊的进展发生在几年之前。1987年匈牙利数学家真的把圆分解成有限多块并拼成方形，当然这不是用尺规做的。