最快地逃离火海—最速降线问题

在高层建筑失火时，首要问题是把高层的居民尽快地运送到安全地区。当有一条长软带总可以使人踩在上面滑到地面。出现灾情时，时间就是一切，什么样的曲线使人能最快地逃离火海呢？这就是所谓最速降线问题，也称捷线问题。1696年瑞士数学家约翰·伯努利提出这个著名的问题，向当时的著名的数学家挑战。他这样表述这个问题：“设想一个质点沿着一条没有摩擦的曲线只在重力的作用下由A点向较低的一点B下滑，那么沿着什么样的连接A和B的曲线，使该质点下滑所需时间最短？”显然，直线不是最速降线，伽利略曾认为是圆弧，这也是错误的。1697年牛顿、莱布尼茨等五位数学家独立地得出正确的解答：最速降线是上凹的旋轮线，由此产生数学的一个新分支——变分法。这门学科也是研究极大极小问题的，但是它与微分法中所讨论的极大极小问题有所不同。在微分法中的极大极小问题中要求极大极小的量只依赖于一个或几个数值变量，问题是求函数的极大极小值。而在变分法中，要求的极大极小的量，例如最速降线中的时间，却依赖整条的曲线（或函数）。因此这个量是曲线或函数的函数，后来我们称为泛函。所以变分法研究泛函的极值问题，它要求的是函数或曲线。
     从这个观点看，最古老的变分法问题不是最速降线，而是等周问题。但是最速降线的解是不久前发现的旋轮线，特别引起大家注意，因为旋轮线是17世纪下半世纪数学家关注的中心，也是引起他们争吵的金苹果。旋轮线是圆沿着一条直线滚动时，圆上一点的轨迹。在此之前，已经知道它的许多有趣性质。大科学家惠更斯发现，一个质点（例如一个光滑的小球），在没有摩擦的情况下，无论把它放在旋轮线的哪一点上，它受重力作用来回振动，那么它的振动周期与振幅无关。因此旋轮线被称为等时性曲线或摆线。通常钟表的摆走的是一个圆弧，它的等时性或者说与振幅无关性只是近似的正确，300 多年来用摆制造的机械钟并不能说是绝对的准确，从而后来为石英钟、原子钟所取代。