一根绳子圈出的面积—等周问题

等周问题是最古老的变分法问题。它是在所有给定周长的平面封闭曲线中，求其中一条曲线使它所围成的面积最大。这个问题可追溯到古希腊以前的时代的一个传说。据说，古代腓基尼的公主狄朵离开家乡，定居北非的地中海沿岸，在那里，她可以用一张牛皮圈出一块地归她所有，当然，圈的土地越大越好。聪明的狄朵把牛皮切成很细很细的牛皮条，然后把牛皮条一根一根缝起来，这样就形成一条相当长的牛皮带，用它去圈土地。当时狄朵圈的土地靠海，因此有一半不用牛皮带，她正确地把牛皮带圈成半圆，这样她围成的土地面积是最大的，因此，这个问题常称为狄朵问题，但是，它还不是严格意义下的等周问题，因为狄朵的曲线不是封闭的。
     真正的等周问题来源于公元前2世纪的芝诺道卢斯，他写了一本等周形的书，但已失传，其中证明等周问题的一些基本定理。（1）周长相等的n边形中，正n边形的面积最大。（2）周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大。（3）圆的面积比同样周长的正多边形面积大。（4）表面积相等的所有立体中，以球的体积为最大。这些结果一直到18世纪才得到严格的证明。1744 年，欧拉用统一的方法处理变分问题后，又得出一系列新的等周问题的结果，例如欧拉得出旋转极小曲面（面积极小）是悬链面。等周问题更精确的结果是等周不等式，它反映各种几何量之间的关系；例如，若尔当曲线J周长为L所围成的面积为F，则有不等式 等周不等式现已发展成为一门专门学科。一方面，它已推广到高维情形，另一方面，它已经包括图形的各种几何量及物理量，成为一个至今还在蓬勃发展的领域。