影子的数学应用

自古以来，人们仰望遥远的天空时，就会情不自禁地想道：“天到底有多高呢？”由于天高不可测，人们便想知道，挂在天空的太阳离地到底有多远。孔子不能回答“小儿辩日”的问题，然而，初生的牛犊不怕虎，有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。约在公元300年，晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道：“长安离我们这儿远，还是太阳离我们这儿远？”司马绍回答：“太阳。因为：有闻客自长安来，却未闻有人从日边来。”元帝很高兴，第二天在宴会上说起这件事，当时别人又问司马绍一遍相同的问题，可是他却回答“长安远”。这下让元帝大为扫兴，正要提示，只见司马绍不慌不忙地补充说：“举目见日，不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜，登时四座惊服。司马绍才思敏捷，后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名喻。那么，到底是长安远还是太阳远，科学家们却是用具体的数学来说话。长安在大地上，自然有办法丈量，而那个太阳高悬在空中，要测量它离我们这儿有多远就很难了。然而，人类的智慧到底还是征服了大自然。这就是利用“影子”。一首题为《影子》的诗写道：“岂能依此长短，判定人的高矮！”这首诗只有寥寥12个字，却揭示了一条深刻的哲理，它寓含于科学与人生之中，就影子本身来说，它貌不惊人，从来都是某种物体的附属品，又是虚无阴暗的代表，习惯被人瞧不起，认为是毫无价值的、空洞的，甚至把它的存在也看成是多余的。
     然而，我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢？诚然，大自然的奇观五光十色，令人眼光缭乱，有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊！对于张目可见的影子实在不屑一提。可是，真正的科学家却不认为影子毫无用处，因为他们早就理解了其中的哲理，明白了衡量一件事物的价值是不能光凭外感来做标准的。不是吗？因为有了影子，人类才揭示了日食的秘密，同时，光学之中出现了成像原理，微积分学中有了变化率，测量学中有了测高望远之术，定时装置中有了日晷……早在公元前6世纪，古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战火中受难的百姓，据说当时美地亚和吕地亚国（位于现今土耳其西部）发生战争，连续五年未分胜负，满目疮痍，哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。塔利斯目睹惨景，便去游说两国首领，晓以利害，建议停战，但均遭到冷遇。
     于是，他便扬言，上天反对战乱，某月某日利用日食作为警告。果然到了那天，两军正在酣战，突然太阳失去光辉，白昼顿时成了黑夜，双方将领大为恐慌，从此罢战言和。这个传说当然未必可信，因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时间是值得怀疑的，但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用；而塔利斯深知影子的妙用，因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题：即金字塔有多高？当时，埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然，要求答案是准确可靠的，如果信口开河，无根据地胡诌一个数，这会要受到惩罚的。因此，在很长一段时间里没有人应征。终于有一天，金字塔前人山人海，争相目睹塔利斯的测高表演。首先，他在广场上竖立一根木棍，在日光照耀下，顺着影子从木棍的底部引出一条直线，量线长等于木棍高的地方做一个记号；他目不转睛地注视着影子的变化，当棍顶的影子与记号重合时，立即快步跑到金字塔塔顶的影子处去做一个标志；他认为，木棍影长与棍长相等时，塔高就应该等于塔影长的，只需量塔影长就知道塔高了。
     是的，这个方法很简单，他的原理也是容易被接受的。可是，当他量了塔影的部分长度（全部长度应是从塔中心开始，而有一部分处于底盘位置），准备再去量取金字塔底盘的宽度时，有人喊叫起来：“塔利斯的测量不准！”等他弄清是怎么回事时，不禁皱起眉头，看看影子，叹了口气！原来，就在他跑去设立塔顶影子的标志时，木棍的影子又变动了；而且，由于金字塔的底盘很大，需要量取底盘宽度，以便确定中心到边界的距离，按这距离加上所见影子的长度才是塔高，本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行，现在方向又偏移了，因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”，而是底盘很大的金字塔。塔利斯虽然第一次尝试失败了，但后来，却利用影子不停息地移动的性质巧妙地进行了新的尝试：观测两次，第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置a和A，第二次b和B，那么，AB∶ab就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知，自然就容易求出塔高来。
     人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧，无不叹为观止。然而，一座塔、一棵树，甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度，却没有人敢想象更高的物体，譬如说太阳，它到底有多高呢？富于幻想的科学家想到，既然太阳是挂在天上的，日高也就是高了。那末，谁能够测得日高呢？第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽（公元3世纪），赵爽在作《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题，他绘制了一幅《日高图》，在平地上面立两表（表即“杆”的意思），日照下显出影长AB和CD，作CE=AB，则ED为两影长度之差；接着他证明“黄甲”与“黄乙”的面积相等，而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积，用影差作为黄乙的宽去除黄甲面积，便得黄乙的长，它的上端与日头相齐，加上表高，就是日高了。