数学基础与数理逻辑

19世纪末到 20 世纪初，数学经历一个翻天覆地的变化，其原因来源于对于数学基础的探究。过去对数学的基本概念，人们是不加追究的，除了哲学家之外，没有人去讨论：什么是数？什么是曲线？什么是无穷？数应该是什么？公理应该如何？空间应该如何？直观是否靠得住？逻辑是不是数学的基础？等等。 19世纪70年代起由于几何及分析的发展，有的数学家开始关心起这类事情来。这些问题提起来容易，解决却很困难，而且都不是作为研究论文发表出来，而是在讲课中，在教科书中，在通信中慢慢传播开来的。这个过程很慢，实际上阻力也很大，许多数学家到死都反对没有切线的曲线，克洛内克连π的存在都反对就是典型的例子。正是由于外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔和希尔伯特等人的努力，基础研究在康托尔的晚年才为广大数学家所重视，形成一个基础研究的热潮，几乎所有数学家都参加进来。
    数学基础的研究大致分成四大支脉，彼此之间也并非完全独立，而是彼此交叉，形成现代数学的新方向：（1）数的理论以及空间或其他对象的理论。说到数学分析，就要搞清楚什么是无理数？什么是实数？在大家对实数定义了以后，大家又该追问自然数是从哪儿来的？这个方向领头的是外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔及皮亚诺。（2）集合及无穷或超穷数的理论，连续统的理论，这是康托尔一个人的独创。（3）公理化理论。1899 年希尔伯特的《几何学基础》的出版是这方向研究的里程碑，从此之后，形成一个公理化热潮，集合论也不例外。（4）逻辑的数学理论。从19世纪中叶起，这是在孤立的情况下进行，可以说与数学主流脱离很远，一直到19世纪末才汇入整个数学研究的大河当中，领先的是布尔，其后弗雷格及皮亚诺做出决定性贡献，其后罗素及怀特海又集其大成。康托尔集合论产生出悖论，悖论引发了20世纪初的基础大战，因此数学家、哲学家很快就分成两大阵营，各有当时数学界的领袖人物为代表：尊重传统、反对无穷集合论的一派以庞加莱为代表，维护集合论的一派以希尔伯特为代表，他们各有自己的同盟军，面对面地展开基础大战。希尔伯待把他自己的观点称为公理主义者，他认为只有公理方法才能解决所有的困难，他的目的是建立算术的公理及其无矛盾性，他接受实在无穷并且称赞康托尔的工作。
     为此，他提出一个明确的方案—一希尔伯特计划。1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，并得到了蓬勃发展。哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化。这些主要在30年代完成。同时哥德尔引进“逆归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。50年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。正是这些研究的发展形成当代数理逻辑的四大分支：模型论、公理集合论、递归论、证明论，基础研究形成独立的数学体系。