数学中永恒的问题—无穷

从一开始，无穷只不过是一个简单的否定，也就是不是有穷多。因此，从古希腊到现代数学当中，并没有无穷的位置。但是，随着数学的发展，不可避免要涉及无穷，但多数数学家仍然反对把无穷作为数学的合法对象，一直到康托尔建立了无穷集合论，无穷才最终成为数学中的合法一员。无穷至少是通过四条道路进到数学当中的。第一条路是“数”的引进。在人对数的概念认识过程中，应该说经历四次飞跃。（1）区别1与多。（2）区别少数与大数。（3）区别有穷数与无穷数。（4）区别无穷数的不同层次。每一次飞跃都代表对数、对无穷的新认识。第二条道路是“量”的引进。量是随着测量而进入数学的。数学家为那些不能由有限多个整数加减乘除来表示的量以三种无穷的表示：无穷级数（也包括无穷不循环小数）、无穷乘积和无穷连分数。这一次是无穷多次运算或无穷多次操作。第三条路是0的引进，在数学家眼里，从这意义上说，0 和∞是够相像的。
     在宗教神秘主义的图案中，一条蛇咬着自己的尾巴，构成一个圆圈。要是把这个圆圈看成数直线，小的正数和负数由0点隔开，大的正数和负数由∞隔开，∞和0一样成为数的合法成员了。第四条通向无穷之路是几何。几何的对象是空间的几何图形，图形的一个特点是连续性，在求图形的面积和体积时，我们遇到很多麻烦。但是，有穷多次是算不出圆的精确面积来的，需要无穷多次，又是一个无穷。到了17世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起，而微分法则是两个无穷小量相除。由于无穷小运算的引进，无穷正式地进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。
     高斯说“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。无穷只不过是一种谈话方式，它是指一种极限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些则容许没有限制的增加。”这里极限的概念，只不过是一种潜在的无穷过程，这里高斯反对那些哪怕是偶尔用一些无穷的概念，甚至是无穷的记号的人，特别是当他们把它当成是普通数一样来考虑时。柯西也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是自相予盾的事。尽管外尔斯特拉斯、戴德金等数学家都感到需要一种无穷的数学，然而只有康托尔才是唯一真正创造无穷的数学理论大师。他所面对的是整个数学界的几千年几百年对无穷的疑惧，他只有靠个人的勇气，个人的意志才能征服它，战胜它！