数学中的新家族—抽象代数

现代代数学即抽象代数学是在19世纪末到20世纪初发展起来的。1930年到1931年，范·德·瓦尔登的《现代代数学》一书问世后，抽象代数学成为现代代数学的主流。二次大战后，自然而然、堂而皇之地去掉“抽象”及“现代”的字眼了。与古典代数学不同，抽象代数学研究代数结构，即一个集合上的元素及子集合之间的关系。它的目标是对特定的代数结构进行刻划及分类。它所研究的对象已经完全不同于古典代数学那种符号的演算以及求方程的解之类的问题了。但是，它的对象仍然从古典代数学及几何学可以看到其来源。现代代数学的对象一般有两个来源，一是由具体的数学对象中产生的，如群、环、域、可除代数、交换代数、结合代数、李代数、布尔代数等等；二是由抽象的数学对象衍生出来的，如整环、半群、拟群、圈、广群、具单元半群、半环、近环、交错代数、幂结合代数等，它们是由已有的结构经公理的增减及改动得出来的结构。现代代数学的具体对象来自多种学科，主要是方程论、代数数论、代数几何学、不变式论、四元数论、超复数论、几何学、逻辑等。抽象代数学最重要的领域除了群论之外，还有域论及环论。
     伽罗华不仅是群论而且是域论的创始人，只不过他没有建立抽象域的观念。他的域是指由n个数a1，a2，…an，经过加，减，乘，除（零不做除数）后所得到所有数的集合。这种域并不新鲜，有理数全体、实数全体、复数全体就是域的好标本。不过伽罗华域是一种由有限多个元素构成的域，它的元素就不是一般的数了。在 19世纪，除了知道上述几种域之外，还对于代数数域和代数函数域进行许多深入的研究，形成了代数数论和代数函数论的两大分支。1910年德国数学家施泰尼茨对于域论进行统一的抽象处理，形成域论的基础。代数数域理论在19世纪末已由希尔伯特总结，他提出的一些猜想陆续由日本数学家高木贞治和奥地利数学家阿丁所解决，形成一个完整的体系。抽象代数学中最深刻的一部分是环论。其中“代数”（一种特殊的环）理论还在19世纪就已经发展起来。19 世纪，复数在数学中所起的举足轻重的作用，给人留下深刻的印象。复数可以看成一对实数，它们可以加，减，乘，除，也能开方，自然就使大家去思考把它推广的问题。
     爱尔兰数学家哈密尔顿在1843年发现了四元数，也能加，减，乘，除，只是乘法不服从交换律，也就是和一般的数不大一样。英国数学家凯雷在1845年引进了八元数，可是乘法连结合律都不满足，也没有一定的除法了。这些是后来结合代数和非结合代数的前身。长期以来对于结合代数（也称超复数）进行深入的研究。摩林在1900年证明：复数域上维数≥2的单（结合）代数都和复数域上适当阶数的矩阵代数同构。美国数学家魏德本在1907年得出结构定理：结合代数分解为幂零代数及半单代数。而半单代数可以表为单代数的和。而单代数可表为域上某个可除代数的矩阵代数。关于可除代数的研究有许多算术上的困难。为此内特引进交积的概念。由此内特等人证明“主定理”：代数数域上任何有限价中心单代数都是循环代数。所有交积都是中心代数。反过来，中心单代数是否都是交积，这到1972年才由以色列数学家阿米祖尔举出反例。改变代数学面貌最显著的分支是交换环论中的理想理论。理想是戴德金发明的，他为了再建代数数域中不再成立的“唯一分解成素因子”定理，引进了适当的理想。代数几何学中也出现这种理想。
     希尔伯特研究不变式的主要工具之一是希尔伯特基定理，它断言每个多项式理想具有有限基。多项式的理想与代数数域的理想怎么样一起来处理呢？内特就是使用公理化方法发展了一般的理想论，她提出了链条件，从一个理想出发，一个理想包含在另一个理想中间，这种理想的升链一定到有限步终上。理想都满足这样的条件的环称为内特环。内特环已有丰富的理论，特别是其中任何理想都可表为准素理想的交。交换代数的发展给代数几何学奠定了稳定的基础。法国数学家韦依在1946年的著作《代数几何学基础》中一扫过去不严格的地方，把几何建立在可靠的代数基础上。1930—1931年间，荷兰数学家范德瓦尔登的《近世代数学》出版，从此，以群、环、域为中心的抽象代数学成为代数学的中心课题，同时它也构成现代数学的基础，对现代数学的发展有着举足轻重的影响。