现代数学的女王—拓扑学

拓扑学研究几何图形在连续变形下的不变性质。1895年庞加莱引进剖分方法以及一系列拓扑不变量，开创了组合拓扑学的新领域。经过半个世纪的努力．拓扑学与抽象代数相结合形成了代数拓扑学的新领域。1945年以后的20年间，代数拓扑学引进一系列新工具、新技术，不仅使拓扑学本身得到发展而且成为研究所有数学领域，从数论、代数到几何分析、微分方程的必不可少的工具。特别是流形上一层一层的结构，如微分结构、复结构等的存在及分类问题，更是由拓扑学的不变量来鉴别，这些问题可以统一用纤维丛概念来概括，而纤维丛的示性类则是解决上述问题的有力工具。正是由于代数拓扑的工具以及纤维丛和示性类的概念与计算，把数学提高到一个崭新的阶段。因此著名数学家狄厄多内说“代数拓扑学和微分拓扑学是现代数学的女王”。
     拓扑学取得这个重要地位，主要因为从50年代到60年代，拓扑学取得一系列辉煌成就：首先是纤维丛理论同伦论有着巨大突破以及托姆创立了配边理论，这实际上是流形的粗糙分类。1956斩，米尔诺发现了今人惊异的事实：在七维球面上存在着互不相同的微分结构。1960年斯梅尔证明五维以上流形广义庞加莱猜想成立，也就是流形如果同伦等价于球面，则它与标准球面同胚。其后又证明对于复合形和流形主猜想不成立。从此这导致在数学中，拓扑学无处不在，从代数数论到偏微分方程，从抽象代数到概率论，拓扑学中的主要概念和方法都在发挥着巨大的威力。同调代数学可以看成抽象代数和拓扑学的杂交产物，在现代的群论、环论、域论中，你很难不碰到拓扑学的术语，什么同调、上同调，这在30年前是连影子都没有的。偏微分方程的看家工具（不动点理论、拓扑度等）也都是从拓扑学中借去的，就连在拓扑学中比较生僻的“上同伦”也在最近的文献中出现了。
     现代数学不仅仅可从拓扑学中得到几个玄乎的概念，更重要的是能产生别的方法所根本办不到的深刻结果。1973年德林证明了著名的魏伊猜想，靠的是引进新的上同调，这样得出的多项式丢番图方程的解数的精确估计，是解析方法所根本不能望其项背的。最近，在物理学、化学、生物学甚至经济学中，拓扑学也取得重要应用。基本粒子理论中有所谓拓扑解、非拓扑解，拓扑学中的纤维丛和示性类理论仿佛是规范场理论定做的工具，分子生物学在研究主宰传宗接代的DNA的超螺旋结构时，碰到了像“环绕数”这种很占老的拓扑慨念，而且生物化学家也的的确确鉴定出来几个拓扑异构酶。70 年代以来拓扑学更是跨出数学领域。