富兰克林的幻方

　　芝诺悸论——阿墓里斯与乌龟

　　悖论是有趣的, 而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明, 在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中, 我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面, 例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的, 但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．

　　公元前５ 世纪, 芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识, 引发出以下著名的悖论: 他提出让阿基里斯①和乌龟之间举行一场赛跑, 并让乌龟在阿基里斯前头１０００ 米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快１０ 倍．当比赛开始的时候, 阿基里斯跑了１０００ 米, 此时乌龟仍然前于他１００ 米．当阿基里斯跑了下一个１００ 米时, 乌龟依然前于他１０ 米．

　　芝诺辩解说, 阿基里斯能够继续逼近乌龟, 但他决不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗? 如果阿基里斯追上了乌龟, 那么他是在赛程的哪一点追上呢?

　　欧布利德悖论与芝诺悖论

　　希腊哲学家欧布利德断言, 一个人绝不可能有一堆沙．他的见解是: 一粒沙不能构成一堆沙, 如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如果你没有一堆沙, 那么即使给你加上一粒沙, 也同样没有一堆, 从而你永远不会有一堆沙．

　　依着同样的思路, 芝诺把眼光瞄在线段上．他断言, 如果点是没有大小的, 那么加上另一个点依然不会有大小．这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体, 因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断说, 如果一个点有大小, 那么一条线段就必然有无限的长度, 因为它是由无穷数量的点所构成,

　　① 译者注: 阿基里斯 (Achilles) 是荷马史诗中的希腊英雄, 神话传说中善跑的神．