用代数方法研究几何图形

数学和其他科学的发展一样，不少长期解决不了的问题，一旦出现了新的认识，或者把它们放到更大的范围去观察，常常很快就找到了解决问题的途径和方法。解析几何的出现，是规尺作图三大难题走向解决的转析点。解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和2000年前的柏拉图一样，都是哲学家兼数学家，他们都形成了各自的学派，有的数学史说：柏拉图主义者相信权威，笛卡儿学派相信理性，但是他们同样认为数学是科学之王。1637年，笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲学著作《方法论》一书的附录出版的，书中引入了变数，创始了解析几何。在初等数学中，基本的情况是几何是几何，代数是代数。
     人们研究和处理几何和代数问题，就方法而言是不同的。比方说，在平面几何中，要考查三点是否共线，或者四点是否共圆，虽然有时也利用某些代数知识，但是一般不讨论直线或者圆的方程，以及它们的解。解析几何是用代数方法来研究几何图形，通过建立坐标系，在几何与代数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁，人们就可以把几何问题先“翻译”成代数题目，例如写出它们的方程，用代数的方法加以解决；之后，再把得到的结果，“翻译”成几何的答案。这样，就不只增加了解决几何问题的思路和方法；而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚，使这些几何题化难为易了。解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面，最先突破的是高斯。1795年，高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久，他就按规尺作图法，作出了正十七边形。不久，他又提出理论，证明了按规尺作图方法，根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这些问题，都是延续了2000多年没有得到解决的难题，被年轻的高斯解决了。
     特别是关于规尺作图法的不可能问题，是一项惊人的成就。他从思想方法上，促进了规尺作图三大难题的研究和解决。数学难题的解决，往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果，先得了解一下费尔马数。费尔马是一个很有成就的数学家，提出过很多著名的定理。他还与笛卡儿同时奠定了解析几何的基础；与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作；在光学中提出了费尔马极小时间原理；在数学中提出过无限下推法。不过，费尔马的不朽贡献，主要是在数论方面。在费尔马一生的大量成就中，也包含着两项影响较大的不确切的工作；一项是他的一个猜想，被证明是错误的；另一项就是前面谈到的近代三大数学难题之一的费尔马大定理，在他宣称被他证明了的300年之后，人们还没有找到证明的方法，于是很多人便对他宣称有过的证明明表示了怀疑。