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无限循环小数化分数，最常用的方法

日期：2019-09-19 11:04
来源: 未知
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无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。混循环小数可以*10^n（n为小数点后非循环位数），所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。

下面介绍一个最常用的方法（注：整数部分可以在计算完成后再加上即可）：

1、纯循环小数：小数点后有几位数，分母就有几个9,分子为一个循环节。如：0.345(345循环)=345／999 该化简就化简即可。

2、混循环小数：小数点后到第一个循环减去非循环小数部分作为分子，循环节内有几位数,分母就有几个9，然后接着写几个0，0的个数为第一个循环节前面非循环小数的位数。如：0.0231(31循环)=(0231-02)/9900 需要化简再化简。

还有两种其它的方法：

等比数列法

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……

循环节为3

则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……

前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......

循环节为9

则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……

前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^n=0

因此：0.99999.....=0.9/0.9=1

解方程法

1、纯循环小数

例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：

10x-x=1.1111……-0.1111……

9x=1

X=1/9

例：0.999999.......=1

设x=0.9999999......

10x-x=9.999999.....-0.999999.....

9x=9

x=1

关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。

例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，

即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，

将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，

100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99

二、混循环小数

例：0.12111…… 1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：

1000x-100x=121.111……-12.111……

900x=109

X=109/900

例：将无限循环小数0.123(·)化成分数：

解题：已知无限循环小数：0.123(·)，将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,

X=0.123(·)——1式，（1式）两边同时乘以10得：

10X=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，

X =0.37/3，X =37/300，

X=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300

无限循环小数化分数，最常用的方法

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