人教版教材把根与系数的关系作为选修内容,但是高中数学中韦达定理应用相当广泛,所以最好在初中就掌握到一定程度。
一、根与系数的关系(韦达定理)的推导
对于一元二次方程的一般式:ax²+bx+c=0(a≠0)
根据求根公式,当△≥0时,方程有两个实数根:
于是,我们得到了根与系数的关系,由于法国数学家韦达第一个发现了这个关系,所以我们把其韦达定理:
二、韦达定理的一些拓展
①若两根互为相反数,则b=0
②若两根互为倒数,则a=c
③若一根为0,则c=0
④若a、c异号(ac<0),方程一定有两个不等实根
(因为此时△=b²-4ac>0)
⑤一些特殊代数式值(对称代数式)
三、韦达定理的应用
【题型1】不解不解方程求方程的两根和与两根积
【题型2】求特殊代数式(对称代数式)的值