棱台体积公式是什么,怎么解三棱台体积

  • 日期:2019-09-14 11:30
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题目:
有一个三角形abc-def。已知ABC和DEF的上、下面积分别为P和Q。棱镜的高度为h,证明了三棱镜的体积公式为
 
证明:
(1) 四面体 ABCF ; 由上底面 ABC 和下底面的一个顶点组成 (这里是 F) 。 四面体 ADEF.. 由下底面 DEF 和上底面组成 (这里是 A) 。 另一个四面体 ADEF.. 由下底面 DEF 和上底面组成 (这里是 A) 。如下图所示(注意:分割方法不是唯一的,但是不同的分割方法会导致相同的结果)。除去这两个四面体物体后,三棱平台的其余部分也是四面体,即ABEF。因此,可以说棱镜是由这三个四面体组成的。
 
在下图中,第一四面体ABCF的体积是底部ABC的面积P乘以高度h,除以3,对应于上述公式的第一项;第二四面体ABCF的体积是底DEF的面积乘以高度h,除以3,对应于上公式的第三项。因此,只需证明四面体abef的体积等于方程的第二项。
 
如上图所示。我们首先考虑立体ABCFE。由四面体ABCF和ABEF组成。显然,三角形bcf和bfe位于同一平面上的三角形棱柱的一侧,它们构成梯形bcfe(棱柱的一侧必须是梯形的,因为棱柱被平行于底部的平面切割)。因此,我们认为四面体ABCF是一个具有BCF底部表面的三金字塔A-BCF(添加一个BCF“-”是为了清楚地表明“-”之前的字母表示顶点,后面的字母“-”表示底部表面);类似地,四面体ABFE被认为是一个带有BFE底部表面的三金字塔A≤bfa。同一平面上三角形棱锥体的两个底面高度相同,以abf为接触面。因此,三金字塔A-BCF(设置为V1)与三金字塔A-BFE(设置为V2)的体积比等于三角BCF(设置为S1)与三角BFE(设置为S2)面积的比率。但由于bc与ef平行,两个三角形的高度相同(考虑bc和ef作为每个三角形的底边),因此两个三角形的面积比等于它们底边的比例,即bc:ef。
 
我们可以这样理解这个公式:三重子的体积等于三个三重子的体积等于三重奏的体积之和。三个三角形的下面积为:三重奏的上平面面积P,下平面面积Q,≤P,Q(平方根)的几何平均值。
这个公式可以推广到任何棱镜。P是棱镜底部的面积,Q是棱镜底部的面积。
 

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