下学期 5.3实数与向量的积1

（第一课时）

一．教学目标 

1．理解并掌握实数与向量的积的意义．

2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

二．教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；

教学难点 ：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；

三．教学具准备

直尺、投影仪．

四．教学过程 

1．设置情境

我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt．这些公式都是实数与向量间的关系．

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

生： 的长度是 的长度的3倍，其方向与 的方向相同， 的长度是 长度的3倍，其方向与 的方向相反．

师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一））

2．探索研究

师：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考．

生：我想这样规定：实数 与向量 的积就是 ，它还是一个向量．

师：想法很好．不过我们要对实数 与向量 相乘的含义作一番解释才行．

实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：

（1）

（2） 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；特别地，当 或 时，

下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：

师：求作向量 和 （ 为非零向量）并进行比较，向量 与向量 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

生： ，

师：设 、 为任意向量， ， 为任意实数，则有：

（1） （2） （3）

通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律．

请看例题

【例1】计算：（1） ， （2） ．

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式 ．

下面我们研究共线向量与实乘向量的关系．

师：请同学们观察 ， ，有什么关系．

生：因为 ，所以 、 是共线向量．

师：若 、 是共线向量，能否得出 ？为什么，可得出 吗？为什么？

生：可以！因为 、 共线，它们的方向相同或相反．

师：由此可得向量共线的充要条件．向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ，使得

此即教材中的定理．

对此定理的证明，是两层来说明的．

其一，若存在实数 ，使 ，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知 与 共线，即 与 共线．

其二，若 与 共线，且不妨令 ，设 （这是实数概念）．接下来看 、 方向如何：① 、 同向，则 ，②若 、 反向，则记 ，总而言之，存在实数 （ 或 ）使 ．

【例2】如图：已知 ， ，试判断 与 是否共线．

解：∵

∴ 与 共线．

练习（投影仪）

设 、 是两个不共线向量，已 ， ，若 、 、 三点共线，求 的值．

参考答案

∵ 、 、 三点共线．

∴ 、 共线 存在实数 ，使

即

∴ ，

3．练习反馈（投影仪）

（1）若 为 的对角线交点， ， ，则 等于（     ）

A．          B．          C．            D．

（2）在△ 中，点 、 、 分别是边 、 、 的中点，那么 ．

（3）如图所示，在平行四边形 中， 是 中点，点 是 上一点， 求证 、 、 三点共线．

参考答案：

（1）B； （2） ；

（3）设 ， 则 又 ，∴ ∴ 、 、 共线．

4．总结提炼

（1） 与 的积还是向量， 与 是共线的．

（2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题．

（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项．

五．板书设计