下学期 4.11 已知三角函数值求角2

（第二课时）

一．教学目标 

1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．

2．掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法．

二．教学具准备

投影仪

三．教学过程 

1．设置情境

师：请同学们看投影，回答问题

（1）若 ， ，则 ．

（2）若 ， 则 ．

生：（1） 或 ．

（2） 或 ．

师：回答正确．请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角的一般步骤：

生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：

第一步，决定角 可能是第几象限角．

第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 ；如果函数值为负数，则先求了与其绝对值对应的锐角 ；

第三步，如果函数值为负数，则根据角 可能是第几象限角，得出 内对应的角—如果它是第二象限角，那么可表示为 ，如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或 ．

师：总结得很好，本节课我们继续学习用反正切表示角的方法，先请同学看问题（投影仪）：

2．探索研究（此部分可由学生仿照正弦、余弦分析解决）

【例1】（1）已知 ，且 ，求 （精确到 ）．

（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．

解：（1）由正切函数在开区间 上是增函数和 可知，符合条件的角有且只有一个，利用计算器可得 （或 ）．

（2）由正切函数的周期性，可知 时， ，所以所求的 的集合是 ．

下面讨论反正切概念，请看 图形（图1）（投影仪）：

观察正切函数的图像的性质，为了使符合条件 （ 为任意实数）的角 有且只有一个，我们选择开区间 作基本的范围，在这个开区间内，符合条件 （ 为任意实数）的角 ，叫做实数 反正切，记作 ，即 ，其中 ，且 ，那么，此例第（2）小题的答案可以写成 ．

表示的意义： 表示一个角，角的特点是①角的正切值为x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有满足 的角都可以，只能是 范围内满足 的角；③由于x为角的正切值，所以x的值可为全体实数．

【例2】（1）已知 ，且 ，求 ．

（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．

解：（1）因为 ，所以 ．由正切函数在开区间 上是增函数可知符合条件的角有且只有一个，所以 ．

（2）由正切函数的周期性，可知当 时， ．

∴所求 的取值集合是 ．

参考例题（供层次高的学生使用）：

1．求值 ．

解：根据诱导公式 ，且 ，

∴ ．

评法：由于反正弦 表示 内的一个角，而 ，所以应先用诱导公式将其转化为区间 内的角，再进行计算．

2．求 的值．

解：∵ 、 表示 中的角

∴令 ，则 ，

，则

∴

又∵ 和 均为锐角

∴

∴

3．演练反馈（投影）

（1）满足 的 的集合是（     ）

A． B．

C． D．

（2）已知 是第二象限角，是 ，则 ．

（3）已知 ， ，且 为第三象限角， 为第四象限角，求 、 ．

参考答案：

（1）D （2） ， ．

（3）

∵ 为第三象限角， 为第四象限角．

∴ ， ，

4．总结提炼

（1）由反正切定义知： ，     ，

（2）已知： ， ，用 表示

四．板书设计