下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质3

4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）

（一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标 

1．理解 ， 的周期性概念，会求周期．

2．初步掌握用定义证明 的周期为 的一般格式．

（三）教学过程 

1．设置情境

自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故 ， 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）

2．探索研究

（1）周期函数的定义

引导学生观察下列图表及正弦曲线

正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

联想诱导公式 ，若令 则 ，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．

如 ， ，…及 ， …都是正弦函数的周期．

注意：周期函数定义中 有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

师：请同学们思考下列问题：①对于函数 ， 有 能否说 是正弦函数 的周期．

生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式 成立，所以不符合周期函数的定义．

② 是周期函数吗？为什么

生：若是周期函数，则有非零常数 ，使 ，即 ，化简得 ，∴ （不非零），或 （不是常数），故满足非零常数 不存在，因而 不是周期函数．

思考题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期．（课外思考）

（2）最小正周期的定义

师：我们知道…， ， ， ， …都是正弦函数的周期，可以证明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期．

一般地，对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．

今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

依据定义， 和 的最小正周期为 ．

（3）例题分析

【例1】求下列函数的周期：

（1） ， ； （2） ， ；

（3） ， ．

分析：由周期函数的定义，即找非零常数 ，使 ．

解：（1）因为余弦函数的周期是 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，余弦函数的值才能重复取得，函数 ， 的值也才能重复取得，从而函数 ， 的周期是 ．

即 ，∴

（2）令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，就是说，变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复取得，而 所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值就能重复取得，从而函数 ， 的周期是 ．

即 

∴

（3）令 ，那么 必须并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，由于 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值才能重复取得，即 是能使等式 成立的最小正数，从而函数 ， 的周期是 ．

而

∴

师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量 的系数有关，其规律如何？你能否求出函数 ， 及函数 ， （其中 ， ， 为常数，且 ， ）的周期？

生：

∴ ．

同理可求得 的周期 ．

【例2】求证：

（1） 的周期为 ；

（2） 的周期为 ；

（3） 的周期为 ．

分析：依据周期函数定义 证明．

证明：（1）

∴ 的周期为 ．

（2）

∴ 的周期为 ．

（3）

∴ 的周期为 ．

3．演练反馈（投影）

（1）函数 的最小正周期为（      ）

A． B． C． D．

（2） 的周期是_________

（3）求 的最小正周期．

参考答案：

（1）C；（2）   ∴

（3）欲求 的周期，一般是把三角函数 化成易求周期的函数 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

由

4．总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

（2）设 ， ．若 为 的周期，则必有：① 为无限集，② ；③ 在 上恒成立．

（3）只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用．如 ，就不能说它的周期为 ．

（四）板书设计 

思考题：设 是定义在 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时， ，求 上的表达式

参考答案：