下学期 5.3实数与向量的积2

（第二课时）

一．教学目标 

1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；

2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．

二．教学重点：平面向量基本定理

教学难点 ：理解平面向量基本定理．

三．教学具准备

直尺、投影仪．

四．教学过程 

1．设置情境

上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．

2．探索研究

师：向量 与非零向量 共线的充要条件是什么？

生：有且仅有一个实数 ，使得

师：如何作出向量 ？

生：在平面上任取一点 ，作 ， ，则

师：对！我们知道向量 是向量 与 的合成， 、 也可以看做是由向量 的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？

平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使

我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

说明：①实数 ， 的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．

②对该定理重在使用．

下面看例题

【例1】已知向量 、 ，求作 ．

【例2】如图所示， 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，用 、 表示 、 、 和 ？

解：在 中

∵

∴

说明：①这些表示方法很常用，要熟记

②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是 、 ，由它可以“生”成 ， ，……．

【例3】如图所示，已知 的两条对角线 与 交于 ， 是任意一点，求证

证明：∵ 是对角线 和 的交点

∴ ， ．在△ 中，

同理：

相加可得：

注：本题也可以取基本向量 ， ， ， ，利用三角形中线公式（向量），得 两种表示方式：

①

②

①＋②得 证毕．

【例4】如图所示 、 不共线， （ ），用 ， 表示 ．

解   ∵

∴

说明：①本题是个重要题型：设 为平面上任一点．

则： 、 、 三点共线

或令 ， 则 、 、 三点共线 （其中 ）

②当 时， 常称为△ 的中线公式（向量式）．

3．演练反馈

（1）命题 ：向量 与 共线；命题 ：有且只有一个实数 ，使 ；则 是 的（      ）

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件

C．充要条件                     D．不充分不必要条件

（2）已知 和 不共线，若 与 共线，则实数 的值等于____________．

（3）如图△ 中，点 是 的中点，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ，求 的值．

参考答案：

（1）B （2）

（3）解：（如图）设 ， ，则 ，

，∵ 、 、 和 、 、 分别共线，∴存在 、 ，使 ， ．

故 ，而 ．

∴由基本定理得 ∴ ∴ ，即

4．总结提炼

（1）当平面内取定一组基底 ， 后，任一向量 都被 、 惟一确定，其含义是存在惟一这数对 ，使 ，则必有 且 ．

（2）三点 、 、 共线 （其中 且 ）

五．板书设计