下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

（第一课时）

一、教学目标 

1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；

2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；

3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.

二、教学重点  平面向量的数量积概念、性质及其应用

教学难点   平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解．

三、教学具准备

直尺，投影仪

四、教学过程 

1．设置情境

师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？

表示力 的方向与位移 的方向的夹角．

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、 ，来规定 的含义。

2．探索研究

（l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？

① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 ．

（2）下面给出数量积定义：

师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即

并规定

师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别．

生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量．

师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？

生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：

所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影．

师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积．

注意：1°投影也是一个数量，不是向量。

2°当q为锐角时投影为正值；

当q为钝角时投影为负值；

当q为直角时投影为0；

当q =0°时投影为 |b|；

当q =180°时投影为 -|b|。

向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

（3）下面讨论数量积的性质：

（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则

①

②

③当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。

特别地

④

⑤

3．演练反馈（投影）

（通过练习熟练掌握性质）

判断下列各题是否正确

（1）若 ，则对任意向量 ，有    （    ）

（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （    ）

（3）若 ，且 ，则           （    ）

（4）若 ，则 或             （    ）

（5）对任意向量 有                  （    ）

（6）若 ，且 ，则          （   ）

参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×．

4．总结提炼

（l）向量的数量的物理模型是力的做功．

（2） 的结果是个实数（标量）

（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夹角范围 ．

（5）五条属性要掌握．

五、板书设计