下学期 4.5 正弦、余弦的诱导公式

正弦、余弦的诱导公式教学设计示例（一）

教学目标 ：
1．掌握诱导公式及其推演时过程．
2．会应用诱导公式，进行简单的求值或化简．
教学重点：
理解并掌握诱导公式．
教学难点 ：
运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式．
教学用具：
三角板、圆规、投影仪．
教学过程 ：
1．设置情境
我们已经学过了诱导公式一： ， ， ，（ ），有了它就可以把任一角的三角函数求值问题，转化为 ～ 间角的三角函数值问题．那么能否再把 ～ 间的角的三角函数求值，继续化为我们熟悉的 ～ 间的角的三角函数求值问题呢？如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
2．探索研究
（1）出示下列投影内容
设 ，对于任意一个 到 的角 ，以下四种情形中有且仅有一种成立．

首先讨论 ，其次讨论 ， 以及 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系，为了使讨论更具一般性，这里假定 为任意角．
（2）学习诱导公式二、三的推导过程．
已知任意角 的终边与单位圆相交于点 ，请同学们思考回答点 关于 轴、 轴、原点对称的三个点的坐标间的关系．
点 关于 轴对称点 ，关于 轴对称点 ，关于原点对称点 （可利用演示课件）．
图1由于 角的终边与单位圆交于 ，则 的终边就是角 终边的反向延长线，角 的终边与单位圆的交点为 ，则 是与 关于 对称的点．所以 ，又因单位圆半径 ，由正弦函数、余弦函数定义，可得
             
             

 
于是得到一组公式（公式二）

我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系，如图2，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点 ，角 的终边与单位圆相交于点 ，这两个角的终边关于 轴对称，所以      
∵
∴

于是又得到一组公式（公式三） 

【例1】求下列三角函数值：
（1） （2） ；
（3） ；（4） ．
解：（1）
      
（2）
 

（3）

（4）


【例2】化简：
解：∵





∴ 原式
（3）推导诱导公式四、五
请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导 ， 与 的三角函值之间的关系？由诱导公式我们可以得到


：

由此可得公式四、五

公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．概括如下： ， ， ， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
【例3】求下列各三角函数：
（1） ； （2） ．
解：（1）


（2）

．
观察以上的解题过程，请同学们总结，利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤．
学生回答后老师总结得出，在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：

运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化 到 的角为 到 间的角，再求值的过程．
3．演练反馈（投影仪）
（1）已知 ，求 的值
（2）已知 ，求 的值
（3）已知 ，求 的值
参考答案：
（1）若 为Ⅳ象限角，则
若 为Ⅰ象限角，则
（2）
（3）∵


∴
4．本课小结
（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）→大（角）变小（角）→（一直）变到 ～ 之间（能查表）．
（2）变角是有一定技巧的，如 可写成 ，也可以写成 不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式．
（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把 改写成 ．
课时作业 ：
1．已知 ， 是第四象限角，则 的值是（       ）
A． B． C． D．

2．下列公式正确的是（      ）
A． B．
C． D．
3． 的成立条件是（       ）
A． 为不等于 的任意角 B．锐角
C． D． ， 且
4．在 中，下列各表达式为常数的是（       ）
A． B．
C．            D．
5．化简
（1）
（2）
6．证明恒等式

参考答案：
1．A；  2．D；  3．D；  4．C；  5．（1）0，（2） ；
6．左
右