下学期 4.1 角的概念的推广

教学目标 

1．理解引入大于 角和负角的意义．

2．理解并掌握正、负、零角的定义．

3．掌握终边相同角的表示法．

4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．

重点难点

1．理解并掌握正、负、零角的定义．

2．掌握终边相同角的表示法．

教学用具

直尺、投影仪

教学过程 

1．设置情境

设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．

2．探索研究

（1）正角、负角、零角概念

①一条射线由原来位置 ，绕着它的端点 ，按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角，如图中角 ；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的 ；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样， 、 ，点 分别叫该角的始边、终边、角顶点．

②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在 轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角．

③我们作出 ， 及 三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出， ， 的终边也是与 角终边重合的，而且可以理解，与 角终边相同的角，连同 在内，可以构成一个集合，记作 ．一般地，我们把所有与角 终边相同的角，连同角 在内的一切角，记成 ， 或写成集合 形式．

（2）例题分析

【例1】在 ～ 间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） ．

解：（1）∵

∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；

（2）∵

∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；

（3）

所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．

总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．

练习：（学生板演，可用投影给题）

（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．

（2）集合 中，各角的终边都在（      ）

A． 轴正半轴上，

B． 轴正半轴上，

C． 轴或 轴上，

D． 轴正半轴或 轴正半轴上

解答：（1） （2）C

【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ，并把 中适合不等式 的元素 写出来：

（1） ；（2） ；（3） ．

解：（1）

中适合 的元素是

（2）

满足条件的元素是

（3）

中适合元素是

说明：与角 终边相同的角，连同 在内可记为 ， 这里

（1） ； （2） 是任意角；

（3） 与 之间是“＋”连接，如 应看做 ；

（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差 的整数倍；

（5）检查两角 ， 终边是否相同，只要看 是否为整数．

练习：（学生口答：用投影给出题）

（1）请用集合表示下列各角．

① ～ 间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角．

（2）分别写出：

①终边落在 轴负半轴上的角的集合；

②终边落在 轴上的角的集合；

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；

④终边落在四象限角平分线上的角的集合．

解答（1）① ；

② ；

③ ；④

（2）① ；

② ；

③ ；

④ ．

说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， ～ 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 ．

【例3】用集合表示：

（1）第三象限角的集合．

（2）终边落在 轴右侧的角的集合．

解：（1）在 ～ 中，第三象限角范围为 ，而与每个 角终边相同的角可记为 ， ，故该范围中每个角适合 ， ，故第三象限角集合为 ．

（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 ．

说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．

3．练习反馈

（1）与 的终边相同且绝对值最小的角是______________．

（2）若角 与角 的终边重合，则 与 的关系是___________，若角 与角 的终边在一条直线上，则 与 的关系是____________．

（3）若 是第四象限角，则 是（     ）．

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角  D．第四象限角

答案：（1） ；

（2） ， ， ；

（3）C

4．总结提炼

判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．

课时作业 

1．在 到 范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角

（1） （2） （3） （4）

2．写出终边在 轴上的角的集合（用 ～ 的角表示）

3．写出与 终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 的元素 写出来．

4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．

5．写出终边在直线 上的角的集合，并给出集合中介于 和 之间的角．

6．角 是 ～ 中的一个角，若角 与 角有相同始边，且又有相同终边，则角 ．

参考答案：

1．（1）   （2）   （3）   （4）

2．

3． ， 或

4． ，

5． ， 或

6．