下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

（第二课时）

一、教学目标 

1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；

2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；

3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．

二、教学重点  平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；

教学难点   平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.

三、教学具准备

投影仪

四、教学过程 

1．设置情境

上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？

2．探索研究

（1）师：什么叫做两个向量的数量积？

生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）

师：向量的数量积有哪些性质？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

师：向量的数量积满足哪些运算律？

生（由学生验证得出）

交换律：

分配律：

师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）

生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。

（2）例题分析

【例1】求证：

（1）

（2）

分析：本例与多项式乘法形式完全一样。

证：         

注： （其中 、 为向量）

答：一般不成立。

【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .

解：∵

注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.

【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直．

分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？

生：

解： 与 互相垂直的充要条件是

即

∵   

∴

∴ 

∴  当且仅当 时， 与 互相垂直．

3．演练反馈（投影）

（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角．

（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，

①求 的值；

②求证： 与 垂直．

（3）证明：直径所对的圆周角为直角．

参考答案：

（1）

（2）解答：①由

当 时 最小；

②∵

∴ 与 垂直.

（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）

则

∵  ，

∴   即  圆周角

4．总结提炼

（l）

（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．

（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．

（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律．

五、板书设计