单侧的带子—莫比乌斯带

莫比乌斯带是最简单的单侧的有边缘曲面。双侧面面与单侧曲面有明显的不同。设想曲面是由薄膜做成的。如果从薄膜的一侧出发存在一条道路到另一侧，中途不允许越过边缘，也不许穿过薄膜，那么这种曲面称为单侧曲面，否则称为双侧曲面。另一个特征是双侧曲面，我们总可以分成内外两面，各涂上一种颜色，例如红色和蓝色，它们不会相混，而单侧曲面只能涂上一种颜色。莫比乌斯带在日常生活中也可见到。当把皮带扭个弯再插到孔中，就得到一个莫比乌斯带，这时你会发现皮带的反面翻到上面来。
     更具体的做法是找一条细长的长方形纸条ABCD如果把两边AB和CD粘起来，使A与C重合，B与D 重合，则得一圆筒形带，正确的皮带也是这样的，它有一个正面、一个反面，可以涂上两种不同的颜色。可是要在两端粘在一起之前，扭转 180°，使得A与D重合，B与C重合，就得到莫比乌斯带，显然这种曲面是单侧的。小虫沿着PP'直线爬行时，它不越过边缘就从一侧爬到另外一侧。莫比乌斯带和圆筒形带还有两个明显的不同之处：（1）圆筒带沿PP'剪开后成为两个圆筒带，而莫比乌斯带沿PP'剪开后还是连在一起成为更大的莫比乌斯带。（2）圆筒形带的边缘是两条闭曲线（圆周），而莫比乌斯带的边缘只是一条闭曲线。单侧曲线为我们引进一种最重要的拓扑性质——可定向性。一个曲面的可定向性，是指整个曲面都存在一种相互谐合一致的方向规定，这种规定不能由点在曲面上的移动而破坏。
     在莫比乌斯带上我们在 PP'可以规定一个 x轴，方向沿PP'的走向，而y输方向，是垂直于x轴且从x轴到y轴是逆时针方向。这样在莫比乌斯带上，当沿着 PP'线运动时，每点的方向都是谐调一致的，也就是两点周围一个小团曲线如是逆时针的，那么在它们相交之处的点周围的小闭曲线都是逆时针的。但是，再次走到P'＝P点时，这个定向反了过来，小闭曲线由逆时针变成顺时针，或者y轴由向上变成向下。这种现象在圆筒带或球面上是不存在的。这些曲面称为可定向的。因此，不可定向性与单侧性是同一拓扑性质。