一个非欧世界

　　在此期间, 双曲几何 (非欧几何之一) 由俄国数学家罗巴切夫斯基(Nicolai Lobachevsky, １７９３—１８５６) 和匈牙利数学家J·波约伊 (JohannBolyai, １８０２—１８６０) 分别独立地发现．

　　可以发现, 双曲几何也像其他非欧几何一样, 描述着与欧氏几何不相协调的性质．例如, 在双曲几何中线未必暗指是直的, 而平行线也不保持等距离 (它们不相交而保持着渐近的关系) ．人们在详细研究了非欧几何后发现, 它确实能够对宇宙现象给出更为精确的描述．从而, 这些几何能够为描述不同的世界而存在．

　　法国数学家庞加莱 (Henri Poincaré, １８５４—１９１２) 创造了一个这样的世界．他想象宇宙被囿限于一个圆内 (对于三维模型则可形象化为一个球体) , 其中心温度为绝对零度．当人们从中心出发旅行, 周围温度上升, 但这个宇宙中的物体和居民并不晓得温度在改变．今设想每件东西的大小也随着移动而改变, 即每个物体和生命在接近中心时变大而在接近边界时依比例缩小, 而且他自身并不晓得, 也不可能发觉自己的大小变化．这意味着一个人的步伐当他向边界移动时, 将变得越来越小, 从而将出现这样的情形, 即只能逼近于边界而无法到达于它．这种现象使得这个世界显示为无限, 而此间两点间最短的距离是一条弯曲的线, 如果我们沿着这条弧状线从A 到B 移动, 则所需的步伐最少．

　　上图就是这样一个世界, 在这个世界里三角形的边由弧线组成, 就像图中三角形ABC 那样．平行线也以新的面目出现, 线DCE 与线AB 平行, 因为它们没有交点．

　　实际上庞加莱的宇宙能够描述我们生活着的世界．如果我们考虑自身在宇宙中的位置, 而且我们能够进行用光年来度量的距离的旅行, 那么也许我们能够发现自己身体尺寸的改变．事实上根据爱因斯坦的相对论, 当速度接近光速时尺子的长度变短!

　　庞加莱是一位具有创见性的思想家．在巴黎大学文理学院当教授期间(１８８１—１９１２ 年) , 他所开设学科的多样性说明了这一点．他的著作和思想覆盖了诸如电学、势论、水力学、热力学、概率、天体力学、发散数列、渐近展开、积分不变量、轨道的稳定性、天体的形成等等科目．他的著作可以说在一定程度上激励了２０ 世纪的数学思想．