丢番图之谜

　　丢番图生命的六分之一是他的童年, 再过了生命的十二分之一他长出了胡须．又过了生命的七分之一丢番图结了婚．五年后他得到了一个儿子．但儿子只活了他父亲所活年岁的一半, 而在他儿子死后四年丢番图也离开了人世．

　　试问, 丢番图总共活了多少岁?

镶嵌

　　简单地讲, 平面镶嵌就是用同样形状的平板砖, 无缝隙而又不重叠地铺满整个平面．给定平板砖的形状, 在实际铺设之前我们能够通过数学的方法预先确定它们是否能够形成镶嵌．演算前要先知道一个数学事实, 即圆周角为３６０°．

　　让我们研究一下用正五边形来覆盖地板, 这只要用一些器具和几何知识就可以了．一个正五边形有五条相等的边和五个相等的角．为了计算正五边形角的大小, 我们把正五边形如右图分为五个全等三角形．由于对任意的三角形而言, 其内角和为１８０°．由此我们可以确定正五边形的一个内角为１０８°．这样一来, 当我们试图将同样的正五边形边对边放在一起时, 我们发现其间必有缝隙, 因为正五边形只能铺出１０８°＋１０８°＋１０８°＝３２４°, 而无法铺满一圈或３６０°的周角．

　　现在让我们尝试用等边三角形来镶嵌地板．一个等边三角形的内角为６０°．我们看到六个相等的等边三角形摆在一起, 是能够铺满一圈的．

　　那么用正方形、正六边形、正八边形、或者它们的结合体来镶嵌又怎么样呢? 下面我们给出一些平面镶嵌的实例．