填满空间的曲线—维数

众所周知，我们所在的世界是所谓“三维空间”，意思是你要在空间中确定某一点位置，只需三个数就够了。反过来，任意三个实数都对应空间中唯一的一点。因此，空间每个点和三个实数之间存在“一一对应”的关系。同样，平面是一个“二维空间”，直线就是一维空间，孤立的点自然就是零维的。因为在三维空间中，一条曲线上的点和一条直线的点可以一一对应起来，所以我们可以说，曲线也是一维的。同样，曲面是二维的。三维空间中一块实心的东西，有长、有宽、有厚，我们也可以说它是三维的。但是，用参数的数目来决定维数只对于欧几里得空间才对，对于一般流形只是局部才对。而一般维数的概念很长时期中并不清楚。比如说，一段曲线是一维流形，可是皮亚诺在1890年发现一段曲线可以盖满一个正方形。他的想法是把一维线段AB和正方形 PQRS对应起来，怎样对应呢？把AB 分成16段，把PQRS分成16块，这样每一段就对应每一块中的黑线段，而且保持首尾相接。再把这小线段分成16段，把小正方形再分成16块，同样可以对应起来，如此分下去，线段越分越短，正方形越分越小，它们之间仍能保持一一对应关系。当线段分得很细很细，正方形也很小很小时，线段也自然通过正方形每一个点，从而覆盖整个正方形了。这样一来，一维的线段和二维的正方形没有什么区别了。
     古老的维数概念发生动摇，以至19世纪末大数学家克莱因曾感叹，那时最头疼的问题是“什么是曲线？”20世纪初，法国大数学家庞加莱发现维数是空间的“拓扑”性质，他通过三维空间的一些现象总结出来维数的本质：一个点可以把一个线段分成不相连结的两段，也就是零维空间可以把一维空间分成不相连结的两部分，但是一个点不能把一块曲面，比如说皮亚诺那个正方形，分成不相连结的两部分，由这样的性质可以判断一个线段和一块曲面的维数不一样。同样，一个一维图形——圆圈可以把二维的曲面，比如说球面和环面，分成不相连结的里外两部分，但是一维图形却不能把一块三维的实心球分成不相连结的两部分。二维图形却可以把三维空间分成两部分。这样我们就可以一步一步归纳地定义维数了。这是维数的严格的拓扑定义，接着布劳威尔证明了维数的拓扑不良性。20年代，门格和乌雷松独立地给出维数的严格理论，正式建立起维数论这样一门拓扑学的分支，这时空间的观念也大大超出我们经验的空间和物理的空间之外，而出现应用范围极广的抽象的“拓扑空间”了。