曲线的新家族—圆锥曲线

欧几里得的《几何原本》只讨论了直线和圆。但是古代希腊还有一项最重要的发现直接与近代科学的发展密切相关，这就是圆锥曲线的发现。由于行星运动大都沿着椭圆轨道，对椭圆及其他圆锥曲线的性质的了解推动了牛顿力学的诞生，这是古希腊数学对人类文明的又一大贡献。圆锥曲线在西方称为圆锥截线，这是由于生成圆锥曲线的方法是靠用平面截圆锥面而得到的。最早是用垂直于一条母线的平面来截正圆锥，如果正圆锥的顶角小于、等于或大于90°，就分别得到椭圆、抛物线和双曲线的一支。而到公元前3世纪，希腊一位伟大的几何学家阿波隆尼乌斯写了《圆锥曲线论》8 卷，是古希腊研究圆锥曲线的顶峰。
     在书中他第一次得出圆锥曲线的一般作法、现在的命名以及许多重要性质。首先阿波隆尼乌斯给出圆锥曲线最一般的生成方法，他采用的是一般的斜圆锥，而且可以是对顶的。同时平面也可以任意截取，这样不仅可以得两支的双曲线，也可以得出圆锥曲线所有退化情形。其次，阿波隆尼乌斯把圆锥曲线移到平面上加以统一考虑和命名。他得出抛物线的基本性质，用现代解析几何的考虑，即y²=px而椭圆满足y²＜px双曲线满足y²＞px其中p为常数。从这些方程出发，阿波隆尼乌斯命名的椭圆（ellipse）含有不足之意思双曲线（hyperbola）含有超出之意思。而抛物线（parabola）则表示不多不少正好的意思，而当把两个不等式化成等式时，就可以得到熟知的椭圆及双曲线方程 虽然古希腊人知道圆锥曲线的许多性质，但为了应用，许多最基本概念及性质到17世纪才明确提出。例如焦点是1704年由开普勒首先使用，另外还有离心率的概念。牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中，第一次证明，过平面上五点可作出唯一一条圆锥曲线，而圆锥曲线几何性质的研究则导致射影几何学的产生。圆锥曲线的系统研究最终纳入解析几何学二次曲线论的范畴。