走向新空间-各种几何学

19世纪中叶以前，欧几里得空间是头一个教学空间，也是唯一的数学空间。欧几里得空间是通过欧几里得几何学的公理来刻划的，它反映人们对空间的平直性（线性），匀齐性，各向同性，包容性（作为万物的容器），位置关系（距离），无穷延伸性，三维性，连续性，无限可分性等等性质的初步认识。欧几里得三维空间可以从许多方向上进行推广：（1）维数上的推广：由3维推广到4维、5维……甚至到无穷维。（2）变换群的推广：我们抛弃度量性质只研究射影变换下的不变性质就得到射影几何学，同样可以得到仿射几何学及保形几何学。相应的空间自然也就是射影空间、仿射空间等等了。（3）空间元素的推广：以前空间元素我们默认是点。
     19 世纪中普吕克尔就创立以直线为元素的空间的几何为线几何学，直线或曲线还可以构成线汇及线丛或者网、罗等等。同样也有圆几何学和球几何学。19世纪后半叶这方面的几何学研究得十分热闹，所有这些空间也可以从变换群角度来研究。（4）度量上的推广：非欧几何的出现是欧几里得空间推广的第一个方向，非欧空间——双曲空间与椭圆空间打破了欧氏空间独一无二的绝对地位。由于非欧平面可以在欧氏空间的曲面上实现，就把空间的平直性去掉了。我们可以概括成为“常曲率空间”，把曲率处处相等这个条件再推广，可以成为黎曼空间，研究它的是黎曼几何学。（5）基域的推广：作为欧几里得空间的基域——实数域可以推广到一般域上，首先是复数域，其次是有限域。
     有限域上射影空间、仿射空间的几何学是20世纪重要的研究课题。（6）由局部到整体的推广：局部欧氏空间可以拼接成各种流形。（7）在数学中常用的空间，随着泛函分析的发展，许多以函数或算子为背景的抽象空间应运而生，成为分析研究的新对象（几何化的分析），它们都构成二级大学科。（8）最一般的拓扑空间，当空间摆脱了度量及范数之后，就变得比较抽象。空间中点与点的关系可通过邻域或开集、闭包来定义。最常见的是豪斯道夫空间。常见的空间都是豪斯道夫空间，但代数几何学中还有一种非豪斯道夫的拓扑，即查瑞斯基拓扑。对于拓扑空间还有种种推广，如一致性空间、接近空间以及上百种推广，从中已经看不到一点通常空间的直观了，它们是一般拓扑学的研究对象。如果说数的推广我们还能理解，空间这种无穷无尽的推广已经使我们一点具体形象也感觉不到了。几何学由具体直观的学问已变成十分抽象难以捉摸的东西了。