符号的重要-从算术到代数

小学的算术问题在学会代数之后，一般可以迎刃而解，其中的奥妙何在？这里的关键是符号化。通过符号的使用，算术的运算规则凸显出来，它们实际上只是一些机械的操作，除了四则运算之外，还包括移项和消去的法则，而四则运算则遵守加法交换律、结合律，乘法交换律，结合律以及加法、乘法的分配律。有了符号之后，运算完全程序化、机械化，代数成为寻求算法的技术了。其实近代数学是以符号化为其显著特征，而这特别以近代代数学为其典型代表。早期的近代代数学的产生是两种潮流的结合产物：一是数值计算过程的符号化，二是数系的拓广，这两个过程都经历了漫长的过程，前者到18世纪中期才稳定下来，而后者直到19世纪中期仍有一些学者有异议。不过这时以方程论为中心的代数学已发展到比较成熟的地步。数学史家纳赛尔曼认为代数符号化过程经历了言辞代数、缩写代数、符号代数三个时期。其实任何数学分支的符号化大抵都经历了类似的阶段，而且各阶段往往互相重叠，并不能截然分开。
     数学分支的符号化大致可分五个部分：（1）对象的符号化，首先是数字的符号化。由于印度—阿拉伯数码的引进，并于15世纪在欧洲普遍推广，到16世纪，现在普遍使用的位值制及十进小数计法也得到广泛应用，这大大推动了计算技术的发展。（2）运算的符号化，加、减的符号（“＋”“－”）早在15世纪中期已经有了，16世纪已普遍使用。乘、除的符号则稍晚，根号在17 世纪也已产生。乘幂的符号到19世纪初才固定下来。（3）关系的符号化，等于、大于、小于是16世纪中期开始引进的。（4）区别已知量、未知量、未知量系数的符号，这是韦达的最大功绩。（5）更一般对象的符号化，如集合、曲线、方程、函数乃至语句的符号比则是比较晚的事，一般到18乃至19世纪才开始萌芽。如果只把符号化看成一个以字母代表数字的过程，那就太简单了。实际上符号化包含了计算对象（例如数）可以扩大到什么程度，也就是数系的扩大化的问题，另外还包岔运算的形式化或程序化与规则的公理化。这些不仅可以用于对数、量的计算上，同时也可以应用于更一般的对象上。经过这样的处理，我们可以说一门学科得到代数化。而代数化则直接导向数学的机械化，这开辟了构造数学的新方向。