从有穷代数到无穷代数—数学分析今昔

从本质上来看，数学分析与代数并没有什么不同，实际上都是一种符号演算的技术。如果说有什么不同，那就是代数学一般涉及有限的数量，而分析涉及无穷的步骤以及无穷大、无穷小之类的量。这是由于代数方法也促进形式化的推广，扩大了函数的范围（如分指数和负指数的出现），也推动了无穷级数、无穷乘积、无穷连分数等“无穷”手段的出现，而这正是无穷小演算所要求的。17、18世纪的数学分析研究的主要都是演算，如微分演算、积分演算以及函数演算和变分演算。后来还有概率演算、算符演算、向里演算、张量演算等等。
     这种演算如同代数中的四则运算一样，当它们有了基础之后，分析中的主要问题就成了解微分方程了。求解微分方程是18、19世纪数学分析的主要课题，它在各方面有着重要的应用。正如代数学一样，为了求解方程，需要对方程的解（数的理论）及方程本身（方程论）进行深入研究，数学分析相应也对函数的理论及微分方程的理论进行研究。一位伟大的意大利数学家沃尔泰拉曾讲过“19世纪是函数论的世纪。”的确，函数是数学分析研究的中心概念。不过，函数的研究远比数要复杂，它需要建立严格的基础，这是19世纪数学分析的第三条研究主线。分析基础的奠定导致现代数学的基本领域的形成：集合论、一般拓扑学与测度论。
     在19—20世纪之交，数学分析的主流包括下面四大领域：（1）现代数学分析的基础。（2）一般函数论。（3）泛函分析，它可以看成变分法的后裔，它处理函数集合上某函数（称泛函），泛函分析要考虑函数集合的各种结构，它们构成各种函数空间。这些函数空间及其上的算子是泛函分析的主要内容。特别值得一提的是广义函数论有特殊重要意义。（4）一般微分方程论。第二次以界大战之后，数学分析有了飞跃的发展，并表现出下列三大趋势：一是从单变量到多变量，二是从局部到整体，这表现在60年代中大范围分析的建立，三是从线性到非线性。而在方法上，也从单一分析过渡到与几何拓扑方法的统一，它预示着21世纪的大发展。