走向更高的维数—流形

微分流形是现代数学中最主要的概念之一。流形可以看成是曲线和曲面的推广。黎曼在1854年已经引进这个概念，他的观念是从物理上来的，曲线可以看成点运动的轨迹，曲面可以看成曲线运动地轨迹，这样下去，n－l维流形运动的结果就成为n维流形。1895年庞加莱在引进拓扑学的同调概念的同时，也引进了流形的概念。他的办法并不新鲜，是在n维空间中用p个方程来定义的（如果有边界的话，再加上一些不等式），满足这些方程的点的集合就是流形。
     从拓扑学的角度来看，这种定义来细致了，比如说，一个足球，你踢上一脚或踩它一下，它的方程马上就改变，但只要足球不破，它的拓扑性质并没有变化，另外，这种定义还要依赖于它所在的n维空间，每次研究都要拿个“容器”把它装在里面，实在多此一举。因此，我们希望用“内在”的性质来定义微分流形。外尔首先在他1913年出版的名著《黎曼面的观念》中给出二维复流形的内在定义，这种定义后来成为微分流形定义的模范。为了理解这个定义，我们可以举一个简单的例子：自行车内胎可被看成一个标准的环面，它可以通过一个圆周环绕一个点走一个圆周而生成，这是黎曼的想法，也可以通过三维空间的方程来定义，这是庞加莱的想法。现在“内在”的定义大致是这样的：新车胎是完完整整的一个好环面，在骑的过程中难免出现破洞，有了破洞就要补，补的时候大都用一块圆皮，这块圆皮不仅把洞补上，也把洞口旁边都给覆盖上。
     假如旁边再破一个洞，补这块洞的圆皮和原来那块圆皮就会有互相重叠的地方。如果这内胎用久了，就有可能每个地方上面都覆盖着圆皮，这种内胎骑起来和没补过的内胎也还是差不太多，它仍旧是一条内胎，但是已经成为（有限多块）互相重叠的补钉（圆皮）的集合了。我们描述内胎也就只需要了解：（1）补钉是什么，（2）补钉是怎样相互重叠的。这样就不必管它外围空间是什么，也不必考虑它的定义方程了。对于微分流形来讲，补钉就是欧氏空间（或其中一块开集）。补钉相互重叠的方法：有的是光滑的（好像是光光溜溜的新轮胎），这就称为微分结构；有的是见棱见角的，就称为分段线性结构；有的是不怎么光滑的，但还保持连续性（比如坑坑蹩蹩的），就称为拓扑流形。这样一来，流形从局部看来（就和补钉一样）都差不多，差别只是它们相互重叠的方式。比如你用几块补钉补满一个球，利用同样这几块补钉补满一条内胎，补钉之间从整体上看，它们的连接方式是不会一样的。