哥尼斯堡的七桥—笔画问题

第一个拓扑问题是欧拉在1736年解决的哥尼斯堡的七桥问题。哥尼斯堡是东普鲁士的首府，这座历史名城产生过大哲学家康德和大数学家希尔伯特。普雷格尔河横贯哥尼斯堡城中，其中有七座桥。问题是，我们能否散步经过每一座桥，而且只经过一次，欧拉证明这不可能，他的数学才能就表现在他把这问题化成图的形式，然后证明不存在一笔画法把这图画出。如果经过这七座桥所有可能路线都试一下的话共有5040种路线，如果每一条路线都试一下证明行不通的话，显然既费时日，也太盲目了。欧拉作为一个数学家，在这里显示出他的威力。欧拉没有到过哥尼斯堡，更不去盲目地乱试，他只是把问题简化，去掉不必要的因素，例如桥的长度，然后把用河隔开的四块区域缩成四个点，这样七桥就变成4个点间、7 条连线组成的图，而七桥问题就变成这个图能否一笔画成。那么一个图能否一笔画成，依赖于点和线的数目。连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图一笔画成，奇点的数目不是0个就是2个，否则不能一笔画成。现在看欧拉的七桥简图，4 个点均为奇点，因此，七桥问题找不到一个肯定的路线。