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钝角三角形,初二数学几何图形的初步认识

日期：2019-10-16 13:02
来源: 未知
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我们知道直角三角形三边满足：斜边的平方等于两直角边的平方和。那么，锐角三角形与钝角三角形的三边满足什么条件呢？

我们先来研究下，锐角三角形三边的平方满足什么关系。如图，已知△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥BC交BC于点D。

设CD为x，则有BD=a-x

在直角三角形ACD中，根据勾股定理，有AD^2=AC^2-CD^2=b^2-x^2，

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，有AD^2=AB^2-BD^2=c^2-（a-x）^2，

即b^2-x^2=AD^2=c^2-（a-x）^2，

∴a^2+b^2=c^2+2ax ，

∵a＞0，x＞0，

∴2ax＞0．

∴a^2+b^2＞c^2．

结论：锐角三角形三边平方之间的关系为：a^2+b^2＞c^2。

那么，钝角三角形三边平方之间又有什么关系呢？如图，△ABC是钝角三角形，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。

设CD为y，

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，有BD^2=BC^2-CD^2=a^2-y^2，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理，有BD^2=AB^2-AD^2=c^2-（b+y）^2，

即a^2-y^2=c^2-（b+y）^2．

化简，得：a^2+b^2+2by=c^2．

∵b＞0，y＞0，

∴2by＞0，

∴a^2+b^2＜c2．

结论：钝角三角形三边平方之间的关系为：a^2+b^2＜c^2。

最终，我们可以得到结论：

直角三角形中（∠C为直角），a2+b2=c2;

锐角三角形中（∠C为锐角），a2+b2＞c2;

钝角三角形中（∠C为钝角），a2+b2＜c2。

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