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给出三个多项式多项式知识总结

日期：2019-08-31 11:28
来源: 未知
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本来国庆节打算更新一波高等代数多项式部分的知识点归纳.可是由于种种原因,拖到了上上周高代考试前.又由于种种原因,拖到了今天.为了凑数,我打算把这部分的内容分两篇推送展示给大家.

先说说带余除法.带余除法,其实大家在中学早已接触过.没错,就是所谓长除法.作为多项式中最最基本的内容,我们仅以一个例子带过.

具体的运算过程并不那么重要,在此我主要是为了让读者了解该题的计算方法.中学数学里大家或多或少接触了一些数论的东西.比如,裴蜀公式.请看这种类型的问题:

具体地说,应该先写出下面的步骤:

下面给出计算u(x),v(x)的算法:

补充两道思考题:(答案下期公布)

下面说说多项式的可约性.与中学的因式分解不同的是,中学的因式分解题往往默认是在实数域中分解因式,而高等代数中的因式分解必须强调数域.

请同学们务必牢记可约与不可约的定义.定义是判别可约性的一个利器.

下面是余式定理和因式定理.

如果两个多项式的次数均≤n,且在n+1个不同点上它们的函数值均相等,我们可以断言,f(x)和g(x)就是同一个多项式.即:

不信？下证.

由此可知,判断f(x),g(x)是否为同一多项式,只要看它们在n+1个不同点上的函数值是否分别相等.但请千万注意,这个性质只适用于多项式,不适用于其他函数的.

两个重要的概念

关于重因式有几个重要的推论,它们常常作为判定和寻找重因式的工具.特别是推论(3).

给出一个例子(运用推论(3)):

补充一点复数的知识:复数的开方运算.一个基本的常识是,复数开n次方是可以开出n个根的.为了找到n个根,作以下变形:

还有就是大家熟悉的韦达定理.

韦达定理帮助我们厘清了根与系数的关系.

本次最后一个知识点,是实系数多项式的根总是成对共轭出现.注意,复系数多项式没有此性质!

本来这篇推送是准备考前发的,结果因为工作量很大拖到了现在.将会在下期附上考试倒数第二题使用中国剩余定理的证明方法.同学们不妨思考一下.

中国剩余定理可以戳:初等数论·第一讲

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