数学破题36计第30计 统计开门 存异求同

第30计 统计开门 存异求同?

●计名释义?

甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.?

甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.?

甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.?

甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？?乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!??

●典例示范?

【例1】   假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：?

x

2

3

4

5

6

y

2．2

3．8

5．5

6．5

7．0

若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：?

（1）线性回归方程；?

（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？?

【分析】   本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.?

注：设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数．?

相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.?

解：（1）列表如下：?　

i

1

2

3

4

5

x_i

2

3

4

5

6

y_i

2.2

3．8

5．5

6．5

7．0

x_iy_i

4．4

11．4

22．0

32．5

42．0

x

4

9

16

25

36

于是b=，?

a=0.08.?         ∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08.?

（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）?

即估计使用10年时维修费用是12.38万元.?

【点评】   本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.??

 

【例2】   某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：?

（1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；?

（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.?

【思考】   本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.?

【解答】   设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.?

(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.?

∴P₃(2) =C(0.7)²(1-0.7)^3-2=3×0.49×0.3=0.441.?

(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P₃（2）+P₃(3)=0.441+C0.7³=0.784.?

【点评】   用独立重复试验的概率公式P_n(k)=C·P^k·(1-p)^n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A发生的概率P；③利用公式计算在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.??

【例3】   甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.?

(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;?

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.?

【思考】   本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.?

【解答】   （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：?

 

甲答对试题数ξ的数学期望.?

Eξ=0×+1×+2×+3×=?

(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则?

P(A)=           P(B)=

因为事件A、B相互独立,?

方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为?

?

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（）=1-?

方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为?

P=P(A·)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=?

【点评】   ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.??

●对应训练?

1.在袋里装30个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.?

2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)?

3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，7²）（cm），问车门应设计多高？?

4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：?

广告费用（千元）

1．0

4．0

6．0

10．0

14．0

销售额  （千元）

19．0

44．0

40．0

52．0

53．0

现要使销售额达到6万元，则需广告费用为                    （保留两位有效数字）.●参考答案?

1.取3个小球的方法数为C=4060.?

设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事件C，则P(B)=，P(C)=.?

∵A、B、C为互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).?

即=P(A)++P(A)=0.?∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n=2.?

记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则?为“3个小球没有一个红球”.?

P(D)=1-P()=1.?

2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元);?

②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.?

③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）?

④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元)?综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.?

3.设公共汽车门的设计高度为x cm?，由题意，需使P（ξ≥x）＜1%.?

∵ξ～N（173，7?2），∴P（ξ≤x）=Φ（）＞0.99.?

查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm?，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.?

点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.?

4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程=bx+a，令=6，得x=1.5万元.?

答案：1.5万元?

点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.???