数学破题36计第36计 思想开门 人数灵通

第36计 思想开门 人数灵通?

●计名释义?

为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？?

所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动.?  中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.??

●典例示范?

【例1】   有一个任意的三角形

ABC（材料），计划拿它制造一个

直三棱柱形的盒子（有盒盖）

，怎样设计尺寸（用虚线表示），

才能不浪费材料（图右上）？?                                例1图

【思考】   “任意”三角形属一般情况，

它的对立面是“特殊”的三角形.

我们先从正三角形考虑起.

假设这个尺寸如图（1）所示.?

（1）三棱柱的底面A₁B₁C₁的

中心G为原三角形的中心.?

（2）柱体的三侧面是三个矩形，

矩形的长与底面△A₁B₁C₁的边长对应相等.?

（3）柱体的上底面（盒盖）由

三个四边形拼合，拼成后的三角形与A₁B₁C₁全等.?          例1题解图（1）

经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C₁，它应满足两个条件：其一，C₁是GC的中点；其二，C₁到∠C两边的距离相等，?

因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心.?

【解答】   作△ABC的∠A和∠B的

平分线相交于内心G，如图（2）所示.?

分别作GA、GB、GC的中点A₁、B₁、C₁.

△A₁B₁C₁为直三棱柱的一个底面.?

过A₁，B₁，C₁三点分别作对应边

的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面.?

经过以上截取后，原△ABC三个顶点

处所余下的三个四边形拼在一起，

作为柱体的另一个底面（盒盖）.?                         例1题解图（2）

【点评】   本题的设问，只要求讲出“设计操作”，形式上“不讲道理”.实质上，人的操作是受思想支配的，因此，本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心，运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.??

【例2】   校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是.?

(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；?

（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.?

【解答】   (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P=C²₃·（）²··=.?

(2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类：?

①5次投中3次，有C²₄种可能投球方式，其概率为：P（3）=C²₄·（）⁵=；?

②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P（2）=（）⁴+3·（）⁵=；?

③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式，?

其概率为：P（1）=（）³+（）⁴=；?

④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（）²=，?

∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=+++ =.?

【点评】   本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.??

●对应训练?(来源https://url.cn/0AShZy)

1.函数y=lg的定义域是：                                     (      )?

?A.{x|x<0}          B.{x|x>1}            C.{x|0<x<1}         D.{x|x<0或x>1}?

2.下面的数表?

?                          1=1

                         3+5=8

                     7+9+11=27?

                13+15+17+19=64?

           21+23+25+27+29=125?

所暗示的一般规律是                                                .??

●参考答案?

1.?D?   利用特殊值.x= -1，2时，函数有意义，排除?A、B?，x=时，函数无意义，排除?C?.?

2.（n²-n+1)+(n²-n+3)+…+［n²-n+(2n-1)］= n³?

设第n行左边第一个数为a_n，则a₁=1，a₂=3，a_n+1=a_n+2n. 叠加得a_n=n²-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是

（n²-n+1)+(n²-n+3)+…+［n²-n+(2n-1)］=n³.?

【点评】   数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.?