数学定义学习的步骤和方法

中学数学教学大纲指出“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映。概念是一种思维形式，客观事物通过人的感官形成感觉、知觉，通过大脑加工——比较、分析、综合、概括——形成概念。建立一个概念，一般是运用由特殊到一般、由局部到整体的观察方法，遵循由现象到本质，由具体到抽象的认识规律，按照辩证唯物主义的观点去分析，找出事物的外部联系和内在的本质。因此概念是培养学生逻辑思维能力的重要内容，概念又是思维的工具，一切分析、推理、想象都要依据概念和运用概念，所以正确理解概念是提高学生数学能力的前提，相反地，如果对学习概念重视不够，或是学生方法不当，既影响对概念的理解和运用，也直接影响着思维能力的发展，就会表现出路闭塞、逻辑紊乱的低能。中学数学中的概念多以定义的形式出现，因此必须有学习定义的正确方法，一般说来，有以下几个环节。1.从定义的建立过程明确定义定义是在其形成的实际过程中逐步明朗化的。任何一个定义的产生都有它的实际过程，学习定义时要想象前人发现定义过程，从定义形成的过程中，认识其定义的必要性和合理性，这样可以达到理解定义训练思维的目的。一个定义的形成，一般地说有四个阶段：（1）提出问题。提出数学定义的常见方法有以下几种：①从实例提出。理论的基础是实践，高中数学中大量的定义，如集合、映射、一一映射、函数、等差数列、柱体、锥体等，都是从实例中归纳总结出来的。②通过迁移提出。数学的特征之一是它的系统性，因此常常可以从旧知识过渡迁移而得出新的定义。
     如球的定义可以从圆的定义迁移而得出；双曲线的定义可以从椭圆的定义迁移而得出；反三角函数的定义可以从反函数的定义结合原来的习题迁移而得出等。③观察图形或实物提出。“形”是数学研究的对象之一。观察函数的图形可以得出函数的单调性、增减性、奇偶性、周期性等定义，观察空间的直线与直线、直线与平面、平面和平面的位置关系可以得出异面直线、直线与平面平行、相并和垂直的定义，平面与平面平行、相交和垂直的定义等。④从形成的过程提出。数学中有些定义是通过实际操作而得出的，其操作过程就是定义，这样的定义叫形成性定义。如圆、椭圆的定义，异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角等。（2）探索问题的解答。如果学生了解了一个新定义提出的方法，那么心理状况必是：对如何定义有迫切的愿望，因而兴趣被激发，积极主动地去思考得出概念的过程，急切想通过自己冷静的思考去试寻问题的解答。这样既有利于掌握定义的本质，又能较快地发展逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。相反地，如果只知是什么，而不知定义得出的过程，那么所学的知识往往是僵死的，妨碍对定义的灵活运用，能力也得不到应有的提高。因此应该掌握并探索问题解答的正确方法。①从实例提出的定义，要对所举各例进行分析，去掉其个别的、非本质的东西，抓住其共同的、本质的东西，抽象概括寻求问题的解答。②对通过迁移提出的定义，要在对旧知识准确理解与运用的基础上，进行比较、分析、推理，去寻求问题的解答。③对观察图形或实物得出的定义，按照观察的目的，运用正确的观察方法，认真观察，仔细分析，同时还要对正反两方面的图形加以比较，去寻求问题的解答。④对于形成性定义，要亲自动手进行实际操作，同时操作的每一步都要进行认真地分析，找出操作能顺利进行的条件或操作不能进行的原因，写出使操作能顺利进行的操作过程，去寻求问题的解答。（3）检验解答的合理性。检验解答的合理性，可以通过实践，也可以利用已有的知识进行逻辑推理。
     若发现有不合理的因素，要加以修改或补充，这样既可加深对定义的理解，又可培养学生严谨的作风。（4）写出合理的解答，即为定义。2.剖析定义（1）明确定义的本质和关键。建立定义以后，要养成剖析定义的习惯，首先要认真阅读课文，逐字逐句地进行推敲，结合定义形成的过程明确定义的本质和关键。（2）明确定义的充要性。凡是定义都是充要命题，如直线与平面垂直的定义“如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直”；反过来，“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线”仍成立，即直线ι垂直于平面α是ι垂直于平面α内的任何一条直线的充要条件。又如椭圆的定义“平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常数 2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆”；反过来“椭圆上的任意一点到两个定点F1、F2的距离之和都等于常数2a”。再如“若函数f（x）对于定义内的每一个值x，都有f（-x）=f（x），则f（x）叫做偶函数”；反过来，“如果函数 f（x）是偶函数，那么对于定义域内的每一个值x都有f（-x）=f（x）”等等。（3）突破定义的难点。对于一个定义，应突破它的难点。如 a+bi（a，b ∈ R）为什么表示一个数，周期函数定义中的“对于函数定义域内的每一个x的值”，数列的极限的定义中的“ε”、“N”等。都是难以理解的，要认真思考，设法突破它，如举出实例并与定义相对照。加深对难点的理解，纠正认识中的错误，以达到准确地理解定义的目的。（4）明确定义的基本性质。对于一个定义，不仅要掌握其本身，还应掌握它的一些基本性质。（5）逆向分析。人的思维是可逆的。但必须有意识地去培养这种逆向思维活动的能力。前面说过，定义都是充要命题，但对某些定义还应从多方设问并思考。如对于正棱锥的概念可提出如下的几个问题，并思考。①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）②侧面与底面所成的角相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）③底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）④符合以上三条中的两条的棱锥是这一定是正棱锥？（一定）⑤侧面是全等的等腰三角形的棱锥是否一定是正棱锥？（一定）（一定的加以证明，不一定的举出反例）。3.记忆定义只有在记忆中能随时再现的知识，才能有助于提高分析问题和解决问题的能力，因此必须准确记忆定义。
     至于记忆方法这里不想多谈，只谈谈记忆定义不应是孤立的。在建立定义时就要开始记忆，在剖析定义时要巩固记忆，特别要弄清定义的基本结构。因为定义是充要命题，所以一般地说，定义是由条件和结论两部分构成的。一般的句子形式是“如果…，那么…”。或“设…则…”。对于逻辑结构复杂的定义，一般地是“设…，如果…，且…，那么…。”如函数的定义“设f：A→B就是从定义域A到值域B上的函数。”这里“设…，”是前提条件，“如果…”，是加强条件，“且…，”是又加强的条件，总之这是条件部分，“那么…”是结论部分。4.应用定义应用定义解答具体问题的过程是培养演绎推理能力的过程。应用定义一般可分三个阶段：（1）复习巩固定义阶段。学习一个新定义之后，要进行复习巩固。首先要认真阅读教材中给出的定义，领会定义的实质，再要举出实例与定义相对照，加深对定义的理解，然后解答一些直接应用定义的问题题、判断题、选择题或是推理计算题。一般地，在一个定义的后面紧跟的例题或练习题往往是为此而安排的，要认真地，严格地按照定义，用准确的数学语言去解答，且不可马虎草率，对说不出或出现错误的问题，要深究其原因，并在重新阅读，复习定义的基础上，澄清定义，纠正错误。（2）章节应用阶段。学完一章以后，要把本章中相近的定义，或是与原来学过的相近的定义如排列与组合，球冠与球缺，函数与方程等有意识地用比较的方法，明确它们的区别和联系。或是批判谬误，在批判错误的过程中，找出错误的根源，以免产生概念间的互相干扰。另外，要把本章中与某一定义有关的知识加以总结，与这一概念有关的例题、练习题以归纳、总结出应用此定义的基本题型。（3）灵活综合应用定义阶段。学习一个单元之后，由于知识的局限性，往往很难把某些概念理解透彻，必须到一定的阶段进行这一概念的补课，特别是数学中具有全局性的重要概念，如算术根及绝对值的概念、函数的概念，充要条件的概念等，以克服只见树木不见森林的弊病，从而培养分析与综合能力，训练辨析事物实质的思维能力。