身材是怎样遗传的—回归与相关

英国科学家高尔顿是优生学的创立者，他主要研究体质和智力的遗传。从一个家族一个家族来看，的确有“龙生龙、凤生凤”的倾向，但是从宏观来看，总体的分布与平均值经过许多世代，改变不大，这样他得出统计学上至关重要的“回归”概念。他说，身材高的父母有高个子的孩子，身材矮的父母有矮个子的孩子，但是世世代代人口总体的身高分布并没有明显的变化。他这样解释，一定身高的父母所生子女的平均身高，有朝着总体平均身高移动或回归的倾向。高尔顿的普遍回归定律后来得到近代数理统计学奠基人皮尔逊所证实，他收集了上千个家庭成员身高的纪录，发现在父亲身材高的一组中，儿子的平均身高比他们父亲身材低，而父亲身材低的一组中，儿子的平均身高比他们的父亲平均身高高。用高尔顿的话来说，这就是都回归到中等水平。这个思想用到统计上就是所谓“回归”分析。
     以父亲的身高为自变量，儿子的身高有一个分布，它的平均值为因变量，这个函数关系是一条直线，称为回归直线，回归到中等水平也就是说这条直线的斜率小于 1。运用回归直线，我们可以估计和预测因变量总体平均值。自变量的数目k＞l时，称为多元回归，最常用的回归方程为Y=β0+β1X1+……+βKXK这时称为线性回归。通过变量代换，XI也可以选为logX’或XkX1等，因此，其他回归函数也可以表为线性回归。另外，因变量的数目也可以大于1，这时称为多重回归。对于两个或多个随机变量之间的线性关系，如果还要进一步测量这种线性关系的强度，就要引进“相关”方法。相关方法也是高尔顿引进的，其后也引入各种相关系数来描述相关性，最简单的是对于两个变量 X，Y 的相关性，对于N次观察（X1，y1），…，（XN，yN）则相关系数为