能够选出代表吗—选择公理

一个群体，它的任何人群，只要不是一个人都没有，总可以选出一个代表。这个看起来天经地义之事，对于无穷集合却引起极大争议，这就是选择公理，它来源于康托尔的良序性假说。所谓良序集合，就是一种特殊的全序集合，其中每个（非空的）子集合都有一个起始元素或极小元素，也就是开头的元素。而康托尔则认为每个集合都可以良序化，这就是良序性假设。而1904年策梅罗就是通过选择公理来证明良序性假设的。策梅罗的证明思路非常清楚，他利用一集合M的所有子集的良序化来使集合M本身的良序化，然后他对证明的原则作了明确的阐述：“对M的每个子集M’，都可设想一个对应元素m’，它是M’中的元素，可称为M’的‘代表元素’。”这就是后来所谓“选择公理”的第一次明确陈述。选择公理是集合论也是数学中最重要的公理，在数学中也多次被隐含地用到。皮亚诺在1890年就隐含地提到它，它比良序性定理要明确得多，这也说明它为什么在数学中到处碰到。
     到了1904年，策梅罗明确地用选择公理证明良序性假设之后，反对之声来自两方面：有的人根本就反对无穷，更反对把选择公理推广到无穷，也有人对策梅罗的证明有疑问，保莱尔就持有这个观点：他认为由两个问题（A）任意集合M的良序化，（B）从M的每个非空子集合中选出一个特殊因素，（A）和（B）的等价性并不能得出（A）的一般解决，因为如（B）解决，还没有具体的办法使M良序化。例如当（A）是实数集合。1905 年以保莱尔、拜尔、勒贝格为一方，以阿达马为另一方进行热烈的讨论。同时，彭加勒也发表文章反对集合论和选择公理。1906年罗素把选择公理表示为“乘法公理”，它是讲“对于由给定的、互不相交的非空子集所构成的一类，则至少存在一类，此类和每一类恰好有一个公共元素”。