桌子、椅子、啤酒杯—公理系统

第一个几何学基础是由欧几里得的《几何原本》奠定的，但欧几里得体系有着许多缺陷，遭到各方面的批评。例如有的公理（如所有直角都相等）是多余的，有许多概念诉诸直观（如重合）等等，但其主要的缺陷是：（1）欧几里得的定义许多是无意义的循环定义，如定义点是没有部分，定义线“有长无宽”等。（2）许多术语没有明确意义，实际上是承认直观的考虑，如一点在“两点之间”等。（3）逻辑结构的缺陷，在证明的过程中有许多默认的假定，例如在证明命题I16，不自觉假定直线的无限性。希尔伯特在一些人的影响下，他提出来“在一切几何命题中，我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”，这种思想后来导致他完成了几何学基础的彻底革新。1899年希尔伯特发表的《几何学基础》不仅彻底清除欧几里得几何学体系中的缺陷，建立了新的几何学基础，而且树立了现代数学的公理化模式，发展了公理学，推动了整个数学基础的研究。
     其重点在于：（1）提出一些原始的术语，这些原始术语并不作定义。（2）原始术语的性质只由公理所反映出来的性质决定。（3）公理系统中的每一公理是否符合我们的直观不予考虑，我们只考虑公理系统中的公理是否彼此之间没有矛盾，也就是相容性。希尔伯特在第一版中提出把点、线、面在上，在……之间和全等作为原始概念，并举出21条公理，其后作了改动及调整。在他生前最后一版（1930）中，提出五组共20条公理的表：第一组 结合公理（共8条公理）第二组 顺序公理（共4条公理）第三组 合同公理（共5条公理）第四组 连续公理（共2条公理）第五组 平行公理（1条）希尔伯特的公理系统非常适合开展一个几何理论的。他不仅为欧氏几何学奠定新的公理化基础，更重要的是建立一套模式来处理任何数学对象，并把它们建立在可靠的公理基础上。
     他明确提出对公理系统的要求：（1）无矛盾性，也称为协调性、一致性、相容性，也就是由公理系统不能推出相互矛盾的结论。（2）独立性，也就是公理系统中没有一个公理可以由其他公理推出。另外人们还希望公理系统有完全性及范畴性两个比较好的性质，前者是指凡是有关原始术语的命题或它的否定均可由公理推出，后者是指凡是适合公理系统的模型均同构，也就是满足公理系统的对象基本上是唯一的。这个概念是维布仑在1904年首先提出的。由于一般的公理系统不一定有完全性，更难得有范畴性，一般对公理系统不能要求太高。但无论如何，无矛盾性是公理系统的必要条件，因为不满足这条件的公理系统就根本毫无价值。