大数定律与中心极限定理

概率论及数理统计学主要研究随机现象，但是研究目的要掌握其中的规律性。大数定律和中心极限定理就是反映这些规律的。大数定律主要讨论随机变量序列的算术平均值，当n增加时趋于一个常数的规律。最简单的形式实际上就是频率稳定性。大数定律的例子司空见惯。例如投掷硬币，投掷一次、两次甚至十次八次都可能出现正面、反面相差甚 有人觉得这只不过是想当然，实际上，历史上许多人的确做过这个实验。法国科学家布封让一个小孩向空中掷钱币4040次，掷出正面2048次，反面1992次，掷出正面频率为0507。法摩根的学生试验，掷出正面2048次，反面2044次，更加接近 0. 501。耶方斯同时掷十枚硬币 2048次，一共20480 次中，正面出现10353次。英国统计学家卡尔·皮尔逊掷12000次，掷出正面6019次，正面频率为0.5016，又一次他掷24000次，掷出正面12012次，出现正面概率为0.5005，所有这些频率与概率0.5的偏差都不大。大数定律对于求近似值的算法有重要意义。
     最简单的是布封发明的投针方法计算7t。布封在纸上划上两条间隔为1的一系列平行线，然后在其上随意投长度为1的针，则可以证明针压上某条平行线的概率为又因此可以靠投针方法近似计算π值。乌尔夫掷下针5000次，得出7t值为3.1596，后来有人做3408次.得出7t值为3.1415929，准确到小数点后6位。中心极限定理则更进一步讨论频率与概率的偏差。它指出当把这个偏差标准化之后，这个偏差的分布趋向于正态分布。实际上，在自然界和生产中，许多现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素产生的因素都不大对，总的影响可以看成服从正态分布。中心极限定理是给出这定理成立的充分必要条件，并进一步加以椎广，它在数理统计的大样本理论中有重要的应用。