分析的中心—函数

函数是数学分析的中心概念。从某种意义上来讲，数学分析就是研究函数的演算及其性质的。但是数学分析开创时期，函数的概念并不清楚，当时的分析是用几何的语言或算术一代数的语言来叙述的。1692年莱布尼茨才首先用函数这个词，其后经过约翰·伯努利、欧拉、拉格朗日、柯西、狄利克雷、黎曼一直到康托尔及戴德金，经历了200年才得出现代一般的抽象的函数观念。虽然一般的函数概念还不太清楚，数学家从18世纪起已开始对具体的函数进行研究。当时的主要倾向是把函数用计算公式表示出来。由于多项式有局限性，把函数展开成幂级数是最常见的，这在当时形成一个数学分支——代数分析。
     第一本代数分析的著作是欧拉的《无穷分析引论》第一卷（1748年）。到19世纪初，人们熟悉的函数并不多，除了多项式之外，还有指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数等。对它们的幂级数展开以及无穷乘积表达式有一定了解。随着解微分方程方法的发展，通过微分方程定义的函数也多起来，其中特别是圆柱函数（贝塞尔函数）和球函数（勒让德函数）以及它们的推广——超几何函数。另外，通过积分表示产生出B函数及Γ函数，它们一般有非常好的性质，如可展开成收敛的幂级数。而在整个19世纪，研究最充分的就是椭圆函数。真正确切的一般函数定义是狄利克雷给出的。他还第一个引进著名的狄利克雷函数，即 这是一个在无穷多不孤立的点的不连续函数，这种函数对于19世纪的数学分析已经足够一般的了。狄利克雷的函数定义在两个重要方面改进欧拉的定义，一是他明确指出函数不一定非得具有解析表达式。二是他把不连续函数纳入函数的范围。这两方面对后来分析影响是巨大的。但他的定义仍局限于实变量的实函数，后推广为复变量的复函数，对于定义域及值域的推广来自康托尔及戴德金。康托尔把函数看成对（a，b）的集合，其中 a∈A，b∈B，A和B均是集合。戴德金在1888年出版的《数是什么，数应该是什么》中，把函数作为集合间的映射来定义，而映射是一种对应规则，在这个规则Φ之下，集合（他称之为系统）S中元素S对应于确定的对象Φ（S），但他没有对值域有任何刻划。