各种曲面—闭曲面的分类

我们能摸得着、看得见的曲面多种多样，把它们加以分类是非常困难的事，但是如果我们只给出粗糙分类，也就是拓扑分类，有时还是可以完成的。从拓扑上看，曲面可以分为三类：开曲面、有边缘曲面、闭曲面。其中开曲面非常复杂还不能完全分类。有边缘曲面则依赖于闭曲面的分类。而经过长时期的努力，数学家对于无边缘的封闭曲面可以给出一个完满的拓扑分类，这是数学中很少几个漂亮的结果之一。在分类过程中通常是找区别不同曲面的拓扑性质及拓扑不变量，当把这些性质和不变量找完全时，拓扑分类也就完成了。幸好，闭曲面的拓扑不变量只有一个，这就欧拉一庞加莱示性数x，它可以从剖分得出，即x＝顶点数－棱数＋面数它同直观的拓扑不变量——亏格g也有关系，x＝2－2g区别闭曲面的拓扑性质是可定向性，也就是它是双侧曲面还是单侧曲面。因此，闭曲面分成两个系列，它们可以通过标准的方法造出来。对于定向的闭曲面，我们可以从球面出发，加上若干环柄构成。
     环柄可以看成两头开着的圆管，在球面上开两个圆孔，再把圆管两端分别与这两个圆孔粘在一起，这样就得到了一个孔洞的环面，它的亏格为 1，x＝0，同样在球面上，其他地方再开两个圆孔，再接上一个环柄，就可以得到两孔的环面。总之，所有定向曲面都可以采用这个方法在球面安上若干环柄构成，它们的环柄数＝g，而x＝2－2g。不可定向曲面也可以如法炮制，不过这一次在球面开的圆孔上安装的不是环柄，而是莫比乌斯带。由于莫比乌斯带是一头封死的交叉帽，所以它的边是一个圆周，因此球面上每个圆孔上都可以安装一个交叉帽。球面上安装一个交叉帽就是射影平面x＝1，安装两个交叉帽就是克莱因瓶（x＝0），因此安装n个交叉帽的不可定向曲面x＝2－n这样一来所有闭曲面不是同安装若干个柄的环面同胚。闭曲面的分类大功告成。对于有边缘的曲面，它们同胚除了所在的闭曲面同胚之外，还要求边缘的圆周数目相等。