数学是什么？

数学教师》上撰文说：“其实，含有未知数的等式叫方程，也并非是方程的严格定义，它仅是一种朴素的描写，并没有明确的外延，是经不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必准确，实际上应是‘条件等式’才对。因为含有未知数的恒等式不是我们要研究的方程，例如，x－x=0，对一切x都对，何必解呢？反过来，把解‘含有未知数的不等式’，称之为‘解不等式方程’，也可以说得通，无非是大家约定俗成而已。”看了这段话，我们有何感想？
　　[案例2]“圆周长的一半等于半圆的周长”。判断错误。可是，究竟什么是半圆呢？如果说圆是一条定点到定长的封闭曲线，那半圆不就是这曲线的一半，这不正好是圆周长的一半吗？把直径纳入进去形成半圆，不就承认圆是一个块而不是线了吗？有一天，我突然醒悟并为此感到兴奋，并和老师们交流，老师们也大呼其对。可是过几天，我还是不放心地去翻了《数学大辞典》，它明确告诉我“半圆就是半条弧和直径所组成的图形”。我空欢喜了一场。这个知识点其实是次要的，关键是我们花了那么长时间，去让学生搞懂连自己也不懂的东西，其价值何在呢？
　　[案例3]“0”一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了。难道数学是可以改变的吗？
　　[案例4]9月1日，我去随班听课。先是听五年级的数学课，内容为小数乘法的意义。老师花了很大力气去让学生搞清：4×5是表示5个4相加是多少或4的5倍是多少，4×0.5是表示4的十分之五是多少，4×1.5是表示4的1.5倍是多少。有些学生还是有些糊涂，教师便帮助他们总结规律：要看后面的数是大于1还是小于1。小于1的，就是表示这个数的十分之几、百分之几是多少……大于1的，要看是整数还是小数，是小数的，就是几倍；是整数的，可以有两种表示方法……学生更糊涂了。第二节课去听六年级数学课，正好是分数乘法的意义。又出现了上述情形，只不过把小数换成了分数。学生们一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？如果无关大雅的话，把4×0.5说成4的0.5倍又何妨呢？！至少可以少难为一点我们这些可爱的孩子们。

　　袁振国教授说：“数学就是人们的一种主观建构，从某种程度上说它就是无中生有。”我们不能动摇数学的客观性，但我们也应该关注到数学的主观性。在关注数学事实的同时，更应该关注孩子的数学经验。让数学从静态走向动态，从客观走向主客观的结合……

二、是形式，还是实质？
　　[案例5]一年级数学课上，老师让同学们做课本上的一道题。题目是看图列式，左边图上画了一棵大树，树上有5只鸟，树的旁边又画了3只鸟（头朝树）。学生当即写出算式：“5＋3=8”，表示“树上有5只鸟，又飞来3只鸟，一共有8只鸟。”右边图上也画了一棵大树，树上有5只鸟，树旁边有3只鸟，只不过这3只鸟的头的方向是远离树。学生也当即写出算式：“8－3=5”，表示“树上原来有8只鸟，飞了3只，还剩5只。”在一切进行的很顺利之时，一个小朋友站起来说，他列出的算式也是“5＋3=8”。老师很不高兴：“难道你没看见小鸟飞的方向吗？头朝左边，就表示加，头朝右边就表示减……”
　　关键的是这种现象并非个别。在教学中，我们老师做过多少次这种人为的规定啊！“实线就表示合并，虚线就表示去掉”、“看见总共就加，看见剩下就减”。本来简单的数学，变得越来越复杂……
　　[案例6]教过《三角形认识》的老师都知道，在这节课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形。为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道。反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会。数学课上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质。对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？
　　为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对心象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者。
三、是封闭，还是开放？
　　[案例7]48×53怎样计算？列竖式，先从个位乘起……我们有一套法则，我们很熟练它，但却根本不知道还会有别的算法。其实，下面的这几种方法都可以计算出它的结果：
48 48 
×53 ×53
—— ——
2024 24
12 12 
40 40
—— 20
2544 ——
2544 

　　面对数学，我们千万不能认为自己的方法就是唯一的。教学数学，我们一定要积极地鼓励学生从多个角度去思考问题。让数学走出封闭，走向开放。
　　[案例8]在《分数的意义》教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数……步步为营，一层一层地引导下来。如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃。
　　我们不能老是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）。数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力。只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子。
　　某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？
　　某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？10